- •ВВЕДЕНИЕ
- •ЛИТЕРАТУРА
- •1. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА — РЕВОЛЮЦИЯ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ
- •1.1. Классическая картина мира
- •1.1.1. Мир материален
- •1.1.2. Две формы существования материи
- •1.1.3. Вещество
- •1.1.4. Поле
- •1.1.5. Сосуществование вещества и поля
- •1.1.6. Экспериментальные факты, противоречащие классической физике
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Классическая механика
- •1.2.1. Уравнения движения
- •1.2.2. Математическая модель
- •1.2.3. Потенциальная энергия
- •1.2.4. Энергия
- •1.2.5. Сохранение энергии
- •1.2.6. Импульс
- •1.2.7. Функция Гамильтона
- •1.2.8. Релятивистская механика
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Классическая теория поля
- •1.3.1. Гравитационное поле
- •1.3.2. Закон всемирного тяготения
- •1.3.3. Потенциальная энергия силы тяготения
- •1.3.4. Сила тяготения
- •1.3.5. Общая теория гравитации
- •1.3.6. Электромагнитное поле
- •1.3.7. Уравнения электромагнитного поля
- •1.3.8. Электрическое поле
- •1.3.9. Напряжённость электрического поля
- •1.3.10. Другие поля
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Основные принципы квантовой физики
- •1.4.1. Краткая история квантовой физики
- •1.4.2. Корпускулярно – волновой дуализм
- •1.4.3. Принцип неопределённостей
- •1.4.4. Вероятностный характер динамических событий
- •1.4.5. Крушение или рождение картины мира?
- •1.4.6. Принцип дополнительности Н. Бора
- •1.4.7. Почему мы не видим квантовых эффектов?
- •Вопросы для самопроверки
- •2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
- •2.1. Волновая функция
- •2.1.1. Волновая функция микрочастицы
- •2.1.2. Вероятностный смысл волновой функции
- •2.1.3. Статистические характеристики случайных величин
- •2.1.4. Статистические характеристики координат микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Вычисление волновой функции
- •2.2.1. Волновое уравнение
- •2.2.2. Волновая функция системы нескольких частиц
- •2.2.3. Волновое уравнение системы нескольких частиц
- •2.2.4. Волновая функция и волновое уравнение частицы с одной степенью свободы
- •2.2.5. Уравнение Шрёдингера в операторном виде
- •2.2.6. Общие требования к решениям уравнения Шрёдингера
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3. Замкнутая микросистема
- •2.3.1. Решение уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •2.3.2. Стационарные состояния
- •2.3.3. Связанные состояния
- •2.3.4. Стационарные связанные состояния
- •2.3.5. Общие черты решений одномерных задач о связанных стационарных состояниях
- •2.3.6. Состояния рассеяния
- •2.3.7. Общие черты решений одномерных стационарных задач о рассеянии микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •3. ОПЕРАТОРЫ ИМПУЛЬСА, КООРДИНАТЫ И ЭНЕРГИИ МИКРОЧАСТИЦЫ
- •3.1. Как построить оператор динамической переменной
- •3.1.1. Зачем нужны операторы в квантовой механике
- •3.1.2. Собственные функции и собственные значения операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •3.2. Оператор импульса
- •3.2.1. Свойства собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.2. Вычисление собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.3. Оператор импульса микрочастицы с одной степенью свободы
- •3.2.4. Операторы проекций импульса микрочастицы и их общие собственные функции
- •3.2.5. Является ли свободная микрочастица «плоской волной»?
- •Вопросы для самопроверки
- •3.3. Оператор координаты
- •3.3.1. Свойства собственной функции оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.2. Дельта – функция Дирака
- •3.3.3. Собственная функция оператора координаты и свойство оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.4. Операторы координат микрочастицы и их общая собственная функция
- •Вопросы для самопроверки
- •3.4. Оператор Гамильтона
- •3.4.1. Принцип соответствия Н. Бора
- •3.4.2. Оператор кинетической энергии микрочастицы
- •3.4.3. Оператор потенциальной энергии микрочастицы
- •3.4.4. Оператор Гамильтона микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •4.1. Пространство волновых функций
- •4.1.1. Функциональное пространство
- •4.1.2. Скалярное произведение функций
- •4.1.3. Амплитуда и вероятность перехода
- •Вопросы для самопроверки
- •4.2. Сопряжённые и самосопряжённые операторы
- •4.2.1. Сопряжённый оператор
- •4.2.2. Самосопряжённый оператор
- •Вопросы для самопроверки
- •4.3. Собственные значения и собственные функции самосопряжённых операторов
- •4.3.1. Собственные значения
- •4.3.2. Собственные функции
- •4.3.3. Полнота системы собственных функций самосопряжённого оператора
- •4.3.4. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Дискретный спектр собственных значений
- •4.3.5. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Непрерывный спектр собственных значений
- •4.3.6. Разложение волновой функции произвольного стационарного состояния микрочастицы по полной ортонормированной системе собственных функций оператора импульса
- •4.3.7. Тригонометрическое представление дельта – функции
- •Вопросы для самопроверки
- •4.4. Распределение вероятностей динамической переменной
- •4.4.1. Вероятность результата измерения динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.2. Среднее значение динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.3. Плотность вероятности результата измерения динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.4. Среднее значение динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.5. Коэффициент разложения как волновая функция в F – представлении
- •Вопросы для самопроверки
- •4.5. Теоремы П. Эренфеста
- •4.5.1. Формулировки, смысл и применение теорем П. Эренфеста
- •4.5.2. Доказательство первой теоремы П. Эренфеста
- •4.5.3. Доказательство второй теоремы П. Эренфеста
- •Вопросы для самопроверки
- •5. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ
- •5.1. Коммутация операторов
- •5.1.1. Основные правила алгебры операторов
- •5.1.2. Коммутатор операторов
- •5.1.3. Коммутаторы операторов координат и проекций импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.2. Свойства произведений операторов
- •5.2.1. Оператор, сопряжённый произведению операторов
- •5.2.2. Самосопряжённые комбинации самосопряжённых операторов
- •5.2.3. Положительно определённые операторы
- •Вопросы для самопроверки
- •5.3. Теорема В. Гайзенберга
- •5.3.1. Неравенство Гайзенберга
- •5.3.2. Следствие неравенства Гайзенберга
- •5.3.3. Соотношение неопределённостей между координатой и проекцией импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.4. Общие собственные функции коммутирующих самосопряжённых операторов
- •5.4.1. Прямая теорема об общих собственных функциях коммутирующих операторов
- •5.4.2. Обратная теорема об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.5. Когда динамические переменные могут, а когда не могут одновременно иметь определённые значения?
- •5.5.1. Что запрещают соотношения неопределённостей
- •5.5.2. Что разрешают теоремы об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.6. Динамическое уравнение Гайзенберга
- •5.6.1. Скорость изменения среднего значения динамической переменной
- •5.6.2. Уравнения Эренфеста как частные случаи уравнений Гайзенберга
- •Вопросы для самопроверки
- •6. МИКРОЧАСТИЦА В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
- •6.1. Момент импульса
- •6.1.1. Центральная сила
- •6.1.2. Момент импульса как классическая динамическая переменная микрочастицы
- •6.1.3. Сохранение момента импульса классической частицы в центральном поле
- •6.1.4. Сохранение энергии классической частицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.2. Оператор момента импульса
- •6.2.1. Коммутационные соотношения между операторами проекций момента импульса
- •6.2.2. Коммутационные соотношения между операторами квадрата и проекций момента импульса
- •6.2.3. Сохранение момента импульса микрочастицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.3. Собственные функции и собственные значения оператора момента импульса
- •6.3.1. Операторы квадрата и проекций момента импульса в декартовых и сферических координатах
- •6.3.2. Собственные значения операторов квадрата и проекции момента импульса
- •6.3.3. Собственные функции операторов квадрата и проекции момента импульса в сферических координатах
- •Вопросы для самопроверки
- •6.4. Стационарные состояния микрочастицы в поле центральной силы
- •6.4.1. Интегралы движения
- •6.4.2. Решение стационарного уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •6.4.3. Радиальное уравнение
- •6.4.4. Характер решений радиального уравнения Шрёдингера
- •6.4.5. Вырождение энергетических уровней
- •Вопросы для самопроверки
- •7. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ МИКРОЧАСТИЦ
- •7.1. Переносное и относительное движение двух частиц
- •7.1.1. Система многих микрочастиц
- •7.1.2. Координаты центра масс и относительного расположения двух частиц
- •7.1.3. Разделение переменных в стационарном уравнении Шрёдингера
- •7.1.4. Центральная сила взаимодействия микрочастиц
- •Вопросы для самопроверки
- •7.2. Двухатомная молекула
- •7.2.1. Эффективная потенциальная энергия межатомного взаимодействия в молекуле
- •7.2.2. Колебательно – вращательные энергетические уровни и радиальные волновые функции молекулы
- •7.2.3. Модель «гармонический осциллятор – жёсткий ротатор» для приближённого описания колебательно – вращательных состояний двухатомной молекулы
- •Вопросы для самопроверки
- •7.3. Атом водорода и водородоподобные ионы
- •7.3.1. Состояния относительного «движения» электрона и ядра
- •7.3.2. Энергетические уровни
- •7.3.3. Волновые функции
- •7.3.4. Сравнение теории с экспериментом
- •Вопросы для самопроверки
5.2.Свойства произведений операторов
5.2.1.Оператор, сопряжённый произведению операторов
Теорема 5.2.1. Оператор (FˆGˆ )+, сопряжённый произведению операторов FˆGˆ , равен произведению сопряжённых операторов в обратном порядке:
ˆ ˆ |
+ |
ˆ + ˆ |
+ |
. |
(5.2.1) |
(FG) |
|
=G F |
|
Доказательство. В соответствии с определением сопряжённого оператора (4.2.5) для любых функций ψ и ϕ имеем:
<ψ | (FˆGˆ )+ | ϕ >=<ϕ | FˆGˆ |ψ > * =…
(обозначаем Gˆψ ≡ψ1)
…=<ϕ | Fˆ |ψ1 >* =<ψ1 | Fˆ + | ϕ >=…
(обозначаем Fˆ +ϕ =ϕ1)
…=<ψ1 | ϕ1 >=<ϕ1 |ψ1 > * =<ϕ1 | Gˆ |ψ >* =
=<ψ | Gˆ + |ϕ1 >=<ψ | Gˆ +Fˆ + |ϕ >,
289
или, окончательно,
<ψ | (FˆGˆ )+ | ϕ > =<ψ | Gˆ +Fˆ + |ϕ >.
Но поскольку полученное равенство выполняется для любых функций ψ и ϕ, то выполняется и операторное равенство (5.2.1),
что и требовалось доказать.
Следствия теоремы 5.2.1.
Следствие 5.2.1.1. Оператор, сопряжённый произведению самосопряжённых операторов, вообще говоря, не является самосопряжённым.
ˆ ˆ + |
ˆ ˆ |
+ |
. Тогда в соответствии |
Доказательство. Пусть F = F |
и G = G |
|
|
с теоремой 5.2.1 |
|
|
|
ˆ ˆ |
+ |
ˆ + ˆ + |
ˆ ˆ |
(5.2.2) |
(FG) |
|
=G F |
=G F , |
и, следовательно,
(FˆGˆ )+≠Fˆ Gˆ .
Таким образом, оператор (FˆGˆ )+ действительно не является самосопряжённым, что и требовалось доказать.
290
Следствие 5.2.1.2. Если самосопряжённые операторы коммутируют, FˆGˆ = GˆFˆ , то оператор, сопряжённый произведению этих операторов, является самосопряжённым:
|
ˆ ˆ |
+ |
ˆ ˆ |
|
|
(5.2.3) |
|
|
(FG) |
|
=F G . |
|
|
||
Доказательство непосредственно следует из (5.2.2) и условия |
|||||||
рассматриваемого следствия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
Следствие 5.2.1.3. Если оператор F — самосопряжённый, то |
|||||||
ˆ n |
[определение №8 |
из п/п. 5.1.1, |
равенство |
||||
любая его степень F |
|||||||
(5.1.10)] также является самосопряжённым оператором. |
|
|
|
||||
Доказательство. |
Самосопряжённость |
оператора |
ˆ |
2 |
ˆ ˆ |
||
F |
|
=F F |
|||||
(5.1.11) вытекает непосредственно из следствия 5.2.1.2. Для этого в
|
|
|
ˆ |
ˆ |
равенстве (5.2.3) следует положить G =F . |
||||
Далее воспользуемся |
|
методом |
математической индукции. |
|
Допустим, что оператор |
ˆ |
ˆ n−1 |
— самосопряжённый. Тогда в |
|
G =F |
||||
соответствии с (5.2.3) и оператор
ˆ |
n |
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ n−1 |
ˆ n−1 |
ˆ |
ˆ ˆ |
F |
|
=F G =F F |
=F F =G F |
||||
— самосопряжённый, что и требовалось доказать.
291
Следствие 5.2.1.4. Если оператор Fˆ — самосопряжённый, то любая его действительная функция f( Fˆ ) — самосопряжённый оператор.
Доказательство. По определению (3.4.5) действительная функция оператора представляет собой линейную комбинацию его степеней с действительными коэффициентами. Поэтому в соответствии со следствием 5.2.1.3 из теоремы 5.2.1 и равенством (4.2.12) из теоремы 4.2.3 такое выражение является самосопряжённым оператором, что и требовалось доказать.
5.2.2. Самосопряжённые комбинации самосопряжённых операторов
|
Теорема 5.2.2. Если операторы |
ˆ |
|
ˆ |
||||
|
F |
и G — самосопряжённые, |
||||||
т.е. |
ˆ ˆ + |
и |
ˆ ˆ |
+ |
, то оператор |
ˆ ˆ ˆ ˆ |
||
F = F |
G = G |
|
FG +GF — также |
|||||
самосопряжённый:
ˆ ˆ ˆ ˆ |
+ |
ˆ ˆ ˆ ˆ |
(5.2.4) |
(FG +GF) |
|
=FG +GF . |
Доказательство. Последующие выкладки основаны на определении сопряжённого оператора (4.2.5) и соотношении (5.2.1) и не нуждаются в дополнительных комментариях.
(FˆGˆ +GˆFˆ )+=(FˆGˆ )++(GˆFˆ )+=Gˆ +Fˆ ++ Fˆ +Gˆ +=
=GˆFˆ + FˆGˆ =FˆGˆ +GˆFˆ .
292