- •ВВЕДЕНИЕ
- •ЛИТЕРАТУРА
- •1. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА — РЕВОЛЮЦИЯ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ
- •1.1. Классическая картина мира
- •1.1.1. Мир материален
- •1.1.2. Две формы существования материи
- •1.1.3. Вещество
- •1.1.4. Поле
- •1.1.5. Сосуществование вещества и поля
- •1.1.6. Экспериментальные факты, противоречащие классической физике
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Классическая механика
- •1.2.1. Уравнения движения
- •1.2.2. Математическая модель
- •1.2.3. Потенциальная энергия
- •1.2.4. Энергия
- •1.2.5. Сохранение энергии
- •1.2.6. Импульс
- •1.2.7. Функция Гамильтона
- •1.2.8. Релятивистская механика
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Классическая теория поля
- •1.3.1. Гравитационное поле
- •1.3.2. Закон всемирного тяготения
- •1.3.3. Потенциальная энергия силы тяготения
- •1.3.4. Сила тяготения
- •1.3.5. Общая теория гравитации
- •1.3.6. Электромагнитное поле
- •1.3.7. Уравнения электромагнитного поля
- •1.3.8. Электрическое поле
- •1.3.9. Напряжённость электрического поля
- •1.3.10. Другие поля
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Основные принципы квантовой физики
- •1.4.1. Краткая история квантовой физики
- •1.4.2. Корпускулярно – волновой дуализм
- •1.4.3. Принцип неопределённостей
- •1.4.4. Вероятностный характер динамических событий
- •1.4.5. Крушение или рождение картины мира?
- •1.4.6. Принцип дополнительности Н. Бора
- •1.4.7. Почему мы не видим квантовых эффектов?
- •Вопросы для самопроверки
- •2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
- •2.1. Волновая функция
- •2.1.1. Волновая функция микрочастицы
- •2.1.2. Вероятностный смысл волновой функции
- •2.1.3. Статистические характеристики случайных величин
- •2.1.4. Статистические характеристики координат микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Вычисление волновой функции
- •2.2.1. Волновое уравнение
- •2.2.2. Волновая функция системы нескольких частиц
- •2.2.3. Волновое уравнение системы нескольких частиц
- •2.2.4. Волновая функция и волновое уравнение частицы с одной степенью свободы
- •2.2.5. Уравнение Шрёдингера в операторном виде
- •2.2.6. Общие требования к решениям уравнения Шрёдингера
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3. Замкнутая микросистема
- •2.3.1. Решение уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •2.3.2. Стационарные состояния
- •2.3.3. Связанные состояния
- •2.3.4. Стационарные связанные состояния
- •2.3.5. Общие черты решений одномерных задач о связанных стационарных состояниях
- •2.3.6. Состояния рассеяния
- •2.3.7. Общие черты решений одномерных стационарных задач о рассеянии микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •3. ОПЕРАТОРЫ ИМПУЛЬСА, КООРДИНАТЫ И ЭНЕРГИИ МИКРОЧАСТИЦЫ
- •3.1. Как построить оператор динамической переменной
- •3.1.1. Зачем нужны операторы в квантовой механике
- •3.1.2. Собственные функции и собственные значения операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •3.2. Оператор импульса
- •3.2.1. Свойства собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.2. Вычисление собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.3. Оператор импульса микрочастицы с одной степенью свободы
- •3.2.4. Операторы проекций импульса микрочастицы и их общие собственные функции
- •3.2.5. Является ли свободная микрочастица «плоской волной»?
- •Вопросы для самопроверки
- •3.3. Оператор координаты
- •3.3.1. Свойства собственной функции оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.2. Дельта – функция Дирака
- •3.3.3. Собственная функция оператора координаты и свойство оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.4. Операторы координат микрочастицы и их общая собственная функция
- •Вопросы для самопроверки
- •3.4. Оператор Гамильтона
- •3.4.1. Принцип соответствия Н. Бора
- •3.4.2. Оператор кинетической энергии микрочастицы
- •3.4.3. Оператор потенциальной энергии микрочастицы
- •3.4.4. Оператор Гамильтона микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •4.1. Пространство волновых функций
- •4.1.1. Функциональное пространство
- •4.1.2. Скалярное произведение функций
- •4.1.3. Амплитуда и вероятность перехода
- •Вопросы для самопроверки
- •4.2. Сопряжённые и самосопряжённые операторы
- •4.2.1. Сопряжённый оператор
- •4.2.2. Самосопряжённый оператор
- •Вопросы для самопроверки
- •4.3. Собственные значения и собственные функции самосопряжённых операторов
- •4.3.1. Собственные значения
- •4.3.2. Собственные функции
- •4.3.3. Полнота системы собственных функций самосопряжённого оператора
- •4.3.4. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Дискретный спектр собственных значений
- •4.3.5. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Непрерывный спектр собственных значений
- •4.3.6. Разложение волновой функции произвольного стационарного состояния микрочастицы по полной ортонормированной системе собственных функций оператора импульса
- •4.3.7. Тригонометрическое представление дельта – функции
- •Вопросы для самопроверки
- •4.4. Распределение вероятностей динамической переменной
- •4.4.1. Вероятность результата измерения динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.2. Среднее значение динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.3. Плотность вероятности результата измерения динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.4. Среднее значение динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.5. Коэффициент разложения как волновая функция в F – представлении
- •Вопросы для самопроверки
- •4.5. Теоремы П. Эренфеста
- •4.5.1. Формулировки, смысл и применение теорем П. Эренфеста
- •4.5.2. Доказательство первой теоремы П. Эренфеста
- •4.5.3. Доказательство второй теоремы П. Эренфеста
- •Вопросы для самопроверки
- •5. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ
- •5.1. Коммутация операторов
- •5.1.1. Основные правила алгебры операторов
- •5.1.2. Коммутатор операторов
- •5.1.3. Коммутаторы операторов координат и проекций импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.2. Свойства произведений операторов
- •5.2.1. Оператор, сопряжённый произведению операторов
- •5.2.2. Самосопряжённые комбинации самосопряжённых операторов
- •5.2.3. Положительно определённые операторы
- •Вопросы для самопроверки
- •5.3. Теорема В. Гайзенберга
- •5.3.1. Неравенство Гайзенберга
- •5.3.2. Следствие неравенства Гайзенберга
- •5.3.3. Соотношение неопределённостей между координатой и проекцией импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.4. Общие собственные функции коммутирующих самосопряжённых операторов
- •5.4.1. Прямая теорема об общих собственных функциях коммутирующих операторов
- •5.4.2. Обратная теорема об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.5. Когда динамические переменные могут, а когда не могут одновременно иметь определённые значения?
- •5.5.1. Что запрещают соотношения неопределённостей
- •5.5.2. Что разрешают теоремы об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.6. Динамическое уравнение Гайзенберга
- •5.6.1. Скорость изменения среднего значения динамической переменной
- •5.6.2. Уравнения Эренфеста как частные случаи уравнений Гайзенберга
- •Вопросы для самопроверки
- •6. МИКРОЧАСТИЦА В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
- •6.1. Момент импульса
- •6.1.1. Центральная сила
- •6.1.2. Момент импульса как классическая динамическая переменная микрочастицы
- •6.1.3. Сохранение момента импульса классической частицы в центральном поле
- •6.1.4. Сохранение энергии классической частицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.2. Оператор момента импульса
- •6.2.1. Коммутационные соотношения между операторами проекций момента импульса
- •6.2.2. Коммутационные соотношения между операторами квадрата и проекций момента импульса
- •6.2.3. Сохранение момента импульса микрочастицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.3. Собственные функции и собственные значения оператора момента импульса
- •6.3.1. Операторы квадрата и проекций момента импульса в декартовых и сферических координатах
- •6.3.2. Собственные значения операторов квадрата и проекции момента импульса
- •6.3.3. Собственные функции операторов квадрата и проекции момента импульса в сферических координатах
- •Вопросы для самопроверки
- •6.4. Стационарные состояния микрочастицы в поле центральной силы
- •6.4.1. Интегралы движения
- •6.4.2. Решение стационарного уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •6.4.3. Радиальное уравнение
- •6.4.4. Характер решений радиального уравнения Шрёдингера
- •6.4.5. Вырождение энергетических уровней
- •Вопросы для самопроверки
- •7. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ МИКРОЧАСТИЦ
- •7.1. Переносное и относительное движение двух частиц
- •7.1.1. Система многих микрочастиц
- •7.1.2. Координаты центра масс и относительного расположения двух частиц
- •7.1.3. Разделение переменных в стационарном уравнении Шрёдингера
- •7.1.4. Центральная сила взаимодействия микрочастиц
- •Вопросы для самопроверки
- •7.2. Двухатомная молекула
- •7.2.1. Эффективная потенциальная энергия межатомного взаимодействия в молекуле
- •7.2.2. Колебательно – вращательные энергетические уровни и радиальные волновые функции молекулы
- •7.2.3. Модель «гармонический осциллятор – жёсткий ротатор» для приближённого описания колебательно – вращательных состояний двухатомной молекулы
- •Вопросы для самопроверки
- •7.3. Атом водорода и водородоподобные ионы
- •7.3.1. Состояния относительного «движения» электрона и ядра
- •7.3.2. Энергетические уровни
- •7.3.3. Волновые функции
- •7.3.4. Сравнение теории с экспериментом
- •Вопросы для самопроверки
5.СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ
5.1.Коммутация операторов
5.1.1.Основные правила алгебры операторов
Впредыдущих разделах данного пособия мы уже использовали некоторые обозначения, позволяющие условно интерпретировать некоторые действия с операторами как алгебраические операции: приравнивание операторов друг другу, сложение операторов, умножение операторов и т.п. Подчеркнём, что подобные термины не следует понимать буквально: операторы — не величины, а способы преобразования объектов (чисел, векторов, функций). Поэтому необходимо чётко условиться, что подразумевается под каждым из таких терминов.
Ниже приведены и систематизированы основные определения и правила алгебры операторов. В качестве объектов, на которые воздействуют операторы, рассматриваются функции — элементы функционального пространства.
1. Нулевой оператор 0ˆ .
Результатом воздействия этого оператора на любую функцию является ноль:
275
ˆ |
ψ = 0. |
(5.1.1) |
0 |
2. Единичный оператор 1ˆ .
Результатом воздействия этого оператора на любую функцию является та же функция:
ˆ |
ψ =ψ. |
(5.1.2) |
1 |
3. Равенство операторов.
Операторы Fˆ и Gˆ равны друг другу,
ˆ |
ˆ |
(5.1.3) |
F =G , |
||
если для любой функции ψ выполняется равенство
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
(5.1.4) |
|
|
|
F ψ =G ψ. |
|
|
|
||||
4. Умножение оператора на число. |
|
|
|
|
|
||||
Если |
c — число |
(действительное |
или |
комплексное), |
то |
||||
результат |
воздействия |
оператора |
ˆ |
ˆ |
на |
любую функцию |
ψ |
||
P ≡ c F |
|||||||||
равен результату воздействия |
оператора |
ˆ |
на |
эту функцию |
ψ, |
||||
F |
|||||||||
умноженному на данное число: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
|
|
(5.1.5) |
|
|
|
P ψ ≡ c F ψ = c( F ψ). |
|
||||||
Промежуточное обозначение Pˆ обычно не используют.
276
5. Сумма операторов.
Оператор Sˆ ≡ Fˆ +Gˆ называется суммой операторов Fˆ и Gˆ , если для любой функции ψ выполняется равенство
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
(5.1.6) |
S |
ψ≡ ( F +G )ψ =F ψ + G ψ. |
||||
Промежуточное обозначение Sˆ обычно не используют. Примечание 1. Оператор, представляющий в квантовой
механике физическую величину (динамическую переменную) микросистемы, имеет размерность, совпадающую с размерностью этой физической величины — см., например, равенство (3.1.3). Очевидно, что по правилу (5.1.6) можно складывать операторы только одинаковой размерности.
Примечание 2. Очевидно, что в смысле (5.1.3) Fˆ +Gˆ =Gˆ + Fˆ . Можно сказать, что операция сложения операторов коммутативна, т.е. не зависит от порядка выполнения операций.
6. Линейная комбинация операторов.
Пусть Fˆ и Gˆ — операторы, а c1 и c2 — числа. Линейной комбинацией операторов Fˆ и Gˆ называется сумма операторов (5.1.6), каждый из которых представляет собой произведение оператора на число (определение №4):
Lˆ ≡c1 Fˆ +c2 Gˆ .
277
При этом для любой функции ψ выполняется равенство
|
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
(5.1.7) |
|
|
L ψ ≡ (c1 |
F +c2 G )ψ =c1 F ψ +c2 G ψ. |
|||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
Промежуточное обозначение L обычно не используют. |
||||||||
Примечание 1. В линейную комбинацию (5.1.7) |
могут входить |
|||||||
операторы |
ˆ |
и |
ˆ |
разных |
размерностей, |
помноженные на |
||
F |
G |
|||||||
константы c1 и c2 соответствующих размерностей, так что слагаемые в (5.1.7) имеют одинаковые размерности или являются безразмерными.
Примечание 2. Если c1= 1, а c2 = –1, то линейная комбинация
(5.1.7) Fˆ –Gˆ называется разностью операторов Fˆ и Gˆ . Примечание 3. Равенство операторов (5.1.3) с учётом
определения нулевого оператора (5.1.1) можно записать, используя определение разности операторов (см. примечание 2):
ˆ |
ˆ |
ˆ |
(5.1.8) |
F –G =0. |
|||
7. Произведение операторов.
Оператор Fˆ Gˆ называется произведением операторов Fˆ и Gˆ ,
если для любой функции ψ выполняется равенство
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
(5.1.9) |
F G ψ =F (G ψ). |
||
278
Равенство |
(5.1.9) подразумевает следующее |
правило |
действия |
|||||
оператора |
ˆ ˆ |
|
сначала на эту функцию действует |
|||||
F G на функцию: |
||||||||
второй сомножитель |
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
G , а затем на функцию |
ϕ ≡G ψ действует |
|||||||
первый сомножитель |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
F . |
|
|
|
|
|
|
||
Примечание 1. Операторы |
ˆ ˆ |
и |
ˆ ˆ |
вообще |
говоря, |
|||
F G |
G F , |
|||||||
различны (т.е. не равны в смысле определения №3), |
поскольку |
|||||||
результат последовательного воздействия операторов |
ˆ |
ˆ |
||||||
F |
и G на |
|||||||
функцию ψ, как правило, зависит от порядка выполнения операций. Таким образом, операция умножения операторов в общем случае не коммутативна.
Примечание 2. Если Fˆ Gˆ =Gˆ Fˆ в смысле определения (5.1.3), то говорят, что операторы Fˆ и Gˆ коммутируют.
Примечание 3. Любой оператор коммутирует сам с собой: Доказательство этого утверждения читатель без труда проделает самостоятельно.
8. Степень оператора.
Оператор Fˆ n , действие которого сводится к повторному n –
кратному действию оператора Fˆ , называется n –й степенью оператора Fˆ :
ˆ n |
ˆ ˆ |
(5.1.10) |
F |
ψ ≡ F ( F (… n раз)ψ)…). |
Например, квадрат оператора — это случай n = 2:
279
ˆ 2 |
ˆ ˆ |
(5.1.11) |
F |
ψ ≡F ( F ψ). |
Однозначность определений (5.1.10), (5.1.11) обеспечивается примечанием 3 к определению №7.
9. Обратный оператор.
Оператор Fˆ −1 называется обратным оператору Fˆ , если выполняются операторные равенства
ˆ ˆ −1 |
ˆ −1 |
ˆ ˆ |
(5.1.12) |
F F |
=F |
F =1. |
При записи (5.1.12) использованы определения № 2, 3 и 7.
Из сформулированных определений вытекают следствия. Сформулируем их в виде теорем.
Теорема 5.1.1. Единичный оператор коммутирует с любым оператором, а их произведение равно самому оператору:
ˆ ˆ ˆ ˆ |
ˆ |
(5.1.13) |
1 F =F 1 |
=F . |
Доказательство. Вследствие определения №2 для любой функции ψ имеем:
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
1 F ψ =1 |
( F ψ) =F ψ; |
F 1 |
ψ =F (1 |
ψ) =F ψ. |
||
280
Отсюда по определению №3 следует (5.1.13).
Теорема 5.1.2. Оператор |
ˆ |
ˆ |
−1 |
, обратный оператору |
ˆ ˆ |
— |
||
(FG) |
|
F G |
||||||
произведению операторов |
ˆ |
и |
ˆ |
|
|
|||
F |
G , — равен произведению |
|||||||
ˆ |
−1 |
и |
ˆ −1 |
в обратном порядке: |
|
|
||
обратных операторов F |
|
G |
|
|
||||
ˆ ˆ |
−1 |
ˆ −1 |
ˆ |
−1 |
. |
(5.1.14) |
(FG) |
|
=G |
F |
|
Доказательство. Запишем последовательность тождественных выражений:
( Fˆ Gˆ )Gˆ −1 Fˆ −1ψ ≡ ( Fˆ Gˆ )Gˆ −1( Fˆ −1ψ)≡ Fˆ (Gˆ Gˆ −1( Fˆ −1ψ)).
Далее, в соответствии с определениями (5.1.12) и (5.1.2), запишем
Fˆ (Gˆ Gˆ −1( Fˆ −1ψ)) = Fˆ (1ˆ ( Fˆ −1ψ)) = Fˆ ( Fˆ −1ψ) = Fˆ Fˆ −1ψ = 1ˆ ψ.
Таким образом, в соответствии с определением №3
( Fˆ Gˆ )Gˆ −1 Fˆ −1≡( Fˆ Gˆ )(Gˆ −1 Fˆ −1) =1ˆ .
Но по определению (5.1.12) операторы, произведение которых фигурирует в полученном равенстве, являются взаимно обратными. Это и доказывает равенство (5.1.14).
281