- •ВВЕДЕНИЕ
- •ЛИТЕРАТУРА
- •1. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА — РЕВОЛЮЦИЯ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ
- •1.1. Классическая картина мира
- •1.1.1. Мир материален
- •1.1.2. Две формы существования материи
- •1.1.3. Вещество
- •1.1.4. Поле
- •1.1.5. Сосуществование вещества и поля
- •1.1.6. Экспериментальные факты, противоречащие классической физике
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Классическая механика
- •1.2.1. Уравнения движения
- •1.2.2. Математическая модель
- •1.2.3. Потенциальная энергия
- •1.2.4. Энергия
- •1.2.5. Сохранение энергии
- •1.2.6. Импульс
- •1.2.7. Функция Гамильтона
- •1.2.8. Релятивистская механика
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Классическая теория поля
- •1.3.1. Гравитационное поле
- •1.3.2. Закон всемирного тяготения
- •1.3.3. Потенциальная энергия силы тяготения
- •1.3.4. Сила тяготения
- •1.3.5. Общая теория гравитации
- •1.3.6. Электромагнитное поле
- •1.3.7. Уравнения электромагнитного поля
- •1.3.8. Электрическое поле
- •1.3.9. Напряжённость электрического поля
- •1.3.10. Другие поля
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Основные принципы квантовой физики
- •1.4.1. Краткая история квантовой физики
- •1.4.2. Корпускулярно – волновой дуализм
- •1.4.3. Принцип неопределённостей
- •1.4.4. Вероятностный характер динамических событий
- •1.4.5. Крушение или рождение картины мира?
- •1.4.6. Принцип дополнительности Н. Бора
- •1.4.7. Почему мы не видим квантовых эффектов?
- •Вопросы для самопроверки
- •2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
- •2.1. Волновая функция
- •2.1.1. Волновая функция микрочастицы
- •2.1.2. Вероятностный смысл волновой функции
- •2.1.3. Статистические характеристики случайных величин
- •2.1.4. Статистические характеристики координат микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Вычисление волновой функции
- •2.2.1. Волновое уравнение
- •2.2.2. Волновая функция системы нескольких частиц
- •2.2.3. Волновое уравнение системы нескольких частиц
- •2.2.4. Волновая функция и волновое уравнение частицы с одной степенью свободы
- •2.2.5. Уравнение Шрёдингера в операторном виде
- •2.2.6. Общие требования к решениям уравнения Шрёдингера
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3. Замкнутая микросистема
- •2.3.1. Решение уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •2.3.2. Стационарные состояния
- •2.3.3. Связанные состояния
- •2.3.4. Стационарные связанные состояния
- •2.3.5. Общие черты решений одномерных задач о связанных стационарных состояниях
- •2.3.6. Состояния рассеяния
- •2.3.7. Общие черты решений одномерных стационарных задач о рассеянии микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •3. ОПЕРАТОРЫ ИМПУЛЬСА, КООРДИНАТЫ И ЭНЕРГИИ МИКРОЧАСТИЦЫ
- •3.1. Как построить оператор динамической переменной
- •3.1.1. Зачем нужны операторы в квантовой механике
- •3.1.2. Собственные функции и собственные значения операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •3.2. Оператор импульса
- •3.2.1. Свойства собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.2. Вычисление собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.3. Оператор импульса микрочастицы с одной степенью свободы
- •3.2.4. Операторы проекций импульса микрочастицы и их общие собственные функции
- •3.2.5. Является ли свободная микрочастица «плоской волной»?
- •Вопросы для самопроверки
- •3.3. Оператор координаты
- •3.3.1. Свойства собственной функции оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.2. Дельта – функция Дирака
- •3.3.3. Собственная функция оператора координаты и свойство оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.4. Операторы координат микрочастицы и их общая собственная функция
- •Вопросы для самопроверки
- •3.4. Оператор Гамильтона
- •3.4.1. Принцип соответствия Н. Бора
- •3.4.2. Оператор кинетической энергии микрочастицы
- •3.4.3. Оператор потенциальной энергии микрочастицы
- •3.4.4. Оператор Гамильтона микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •4.1. Пространство волновых функций
- •4.1.1. Функциональное пространство
- •4.1.2. Скалярное произведение функций
- •4.1.3. Амплитуда и вероятность перехода
- •Вопросы для самопроверки
- •4.2. Сопряжённые и самосопряжённые операторы
- •4.2.1. Сопряжённый оператор
- •4.2.2. Самосопряжённый оператор
- •Вопросы для самопроверки
- •4.3. Собственные значения и собственные функции самосопряжённых операторов
- •4.3.1. Собственные значения
- •4.3.2. Собственные функции
- •4.3.3. Полнота системы собственных функций самосопряжённого оператора
- •4.3.4. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Дискретный спектр собственных значений
- •4.3.5. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Непрерывный спектр собственных значений
- •4.3.6. Разложение волновой функции произвольного стационарного состояния микрочастицы по полной ортонормированной системе собственных функций оператора импульса
- •4.3.7. Тригонометрическое представление дельта – функции
- •Вопросы для самопроверки
- •4.4. Распределение вероятностей динамической переменной
- •4.4.1. Вероятность результата измерения динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.2. Среднее значение динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.3. Плотность вероятности результата измерения динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.4. Среднее значение динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.5. Коэффициент разложения как волновая функция в F – представлении
- •Вопросы для самопроверки
- •4.5. Теоремы П. Эренфеста
- •4.5.1. Формулировки, смысл и применение теорем П. Эренфеста
- •4.5.2. Доказательство первой теоремы П. Эренфеста
- •4.5.3. Доказательство второй теоремы П. Эренфеста
- •Вопросы для самопроверки
- •5. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ
- •5.1. Коммутация операторов
- •5.1.1. Основные правила алгебры операторов
- •5.1.2. Коммутатор операторов
- •5.1.3. Коммутаторы операторов координат и проекций импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.2. Свойства произведений операторов
- •5.2.1. Оператор, сопряжённый произведению операторов
- •5.2.2. Самосопряжённые комбинации самосопряжённых операторов
- •5.2.3. Положительно определённые операторы
- •Вопросы для самопроверки
- •5.3. Теорема В. Гайзенберга
- •5.3.1. Неравенство Гайзенберга
- •5.3.2. Следствие неравенства Гайзенберга
- •5.3.3. Соотношение неопределённостей между координатой и проекцией импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.4. Общие собственные функции коммутирующих самосопряжённых операторов
- •5.4.1. Прямая теорема об общих собственных функциях коммутирующих операторов
- •5.4.2. Обратная теорема об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.5. Когда динамические переменные могут, а когда не могут одновременно иметь определённые значения?
- •5.5.1. Что запрещают соотношения неопределённостей
- •5.5.2. Что разрешают теоремы об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.6. Динамическое уравнение Гайзенберга
- •5.6.1. Скорость изменения среднего значения динамической переменной
- •5.6.2. Уравнения Эренфеста как частные случаи уравнений Гайзенберга
- •Вопросы для самопроверки
- •6. МИКРОЧАСТИЦА В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
- •6.1. Момент импульса
- •6.1.1. Центральная сила
- •6.1.2. Момент импульса как классическая динамическая переменная микрочастицы
- •6.1.3. Сохранение момента импульса классической частицы в центральном поле
- •6.1.4. Сохранение энергии классической частицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.2. Оператор момента импульса
- •6.2.1. Коммутационные соотношения между операторами проекций момента импульса
- •6.2.2. Коммутационные соотношения между операторами квадрата и проекций момента импульса
- •6.2.3. Сохранение момента импульса микрочастицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.3. Собственные функции и собственные значения оператора момента импульса
- •6.3.1. Операторы квадрата и проекций момента импульса в декартовых и сферических координатах
- •6.3.2. Собственные значения операторов квадрата и проекции момента импульса
- •6.3.3. Собственные функции операторов квадрата и проекции момента импульса в сферических координатах
- •Вопросы для самопроверки
- •6.4. Стационарные состояния микрочастицы в поле центральной силы
- •6.4.1. Интегралы движения
- •6.4.2. Решение стационарного уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •6.4.3. Радиальное уравнение
- •6.4.4. Характер решений радиального уравнения Шрёдингера
- •6.4.5. Вырождение энергетических уровней
- •Вопросы для самопроверки
- •7. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ МИКРОЧАСТИЦ
- •7.1. Переносное и относительное движение двух частиц
- •7.1.1. Система многих микрочастиц
- •7.1.2. Координаты центра масс и относительного расположения двух частиц
- •7.1.3. Разделение переменных в стационарном уравнении Шрёдингера
- •7.1.4. Центральная сила взаимодействия микрочастиц
- •Вопросы для самопроверки
- •7.2. Двухатомная молекула
- •7.2.1. Эффективная потенциальная энергия межатомного взаимодействия в молекуле
- •7.2.2. Колебательно – вращательные энергетические уровни и радиальные волновые функции молекулы
- •7.2.3. Модель «гармонический осциллятор – жёсткий ротатор» для приближённого описания колебательно – вращательных состояний двухатомной молекулы
- •Вопросы для самопроверки
- •7.3. Атом водорода и водородоподобные ионы
- •7.3.1. Состояния относительного «движения» электрона и ядра
- •7.3.2. Энергетические уровни
- •7.3.3. Волновые функции
- •7.3.4. Сравнение теории с экспериментом
- •Вопросы для самопроверки
ˆ
Ниже мы убедимся, что оператор Гамильтона H (2.2.19) – (2.2.21) действительно с полным основанием следует считать оператором энергии, а его собственные значения E — возможными значениями энергии замкнутой микросистемы.
Вопросы для самопроверки
3.1.1.Что такое собственная функция и собственное значение оператора? Что означает выражение «собственная функция, принадлежащая собственному значению»?
3.1.2.Каков физический смысл собственных функций и собственных значений оператора, представляющего в квантовой механике некоторую динамическую переменную микросистемы?
3.2.Оператор импульса
3.2.1.Свойства собственной функции оператора импульса в одномерном случае
Нам пока неизвестны ни вид собственной функции ψ px (t, x)
оператора импульса pˆ x микрочастицы с одной степенью свободы,
ни его собственные значения, ни конструкция самого оператора импульса. Известно лишь, что все эти объекты присутствуют в уравнении на собственные функции и собственные значения рассматриваемого оператора (3.1.3):
159
pˆ xψ px (t, x) = pxψ px (t, x) . |
(3.2.1) |
Тем не менее, поскольку волновая функция ψ px (t, x) должна описывать такое состояние микрочастицы, в котором её импульс имеет определённое значение, равное px (см. п/п. 3.1.1), из общих соображений можно сформулировать требования, которым должна удовлетворять эта волновая функция.
1. Собственная функция оператора импульса ψ px (t, x)
описывает состояние свободной микрочастицы.
Иными словами, если микрочастица обладает определённым импульсом px , то она свободна, т.е. никакая сила на неё не действует:
F = − |
dΦ |
= 0 при –∞ <x <∞; |
Φ(x) = Φ |
0 |
= const. (3.2.2) |
|
|||||
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вследствие (3.2.2) не существует областей пространства, где бы частица «предпочитала» или, напротив, «избегала» находиться: любые её положения в пространстве равновероятны.
Это означает, что плотность вероятности обнаружить микрочастицу с определённым импульсом в любой точке пространства одинакова:
|
|
ψ px (t, x) |
|
2 = const. |
(3.2.3) |
|
|
||||
160 |
|
||||
3. Согласно концепции корпускулярно – волнового дуализма (п/п. 1.4.2) микрочастица, обладающая определённым импульсом px , должна вместе с тем вести себя как волна с длиной волны де Бройля (1.4.16)
λ = |
2πh |
. |
(3.2.4) |
|
px |
|
|
Отсюда следует, что собственная функция оператора импульса должна быть пространственно – периодической с периодом (3.2.4):
ψ px (t, x ± λn) =ψ px (t, x); n = 1, 2, ... |
(3.2.5) |
Сделаем некоторые пояснения.
К № 1. В классической механике (см. п. 1.2) импульс материальной точки, на которую не действует сила, сохраняется, т.е. является интегралом движения: значение её импульса px
остаётся постоянным, не меняясь с течением времени.
В общем случае интегралом движения является суммарный импульс любой механической системы, на которую не действует никакая внешняя сила. Внутренние силы, т.е. силы взаимодействия между частями системы — могут быть при этом любыми.
Точно так же можно утверждать, что если на квантовую микросистему (в частности, микрочастицу) не действует внешняя
161
сила (3.2.2), то её суммарный импульс имеет определённое значение.
Докажем это утверждение, рассуждая «от противного». Внешняя сила, действующая на частицу, ускоряет её. Это означает, что в той области пространства, куда сила «втягивает» частицу, её импульс будет больше, а в той области, откуда сила её «выталкивает», импульс, наоборот, будет меньше. Поскольку рассматриваемое состояние описывается волновой функцией ψ(t,x),
которая определена во всём пространстве, т.е. при –∞ <x <∞, то импульс микрочастицы в этом состоянии не имеет определённого значения. Следовательно, в самом деле, чтобы импульс имел определённое значение, микрочастица должна быть свободной.
Таким образом, собственная функция оператора импульса действительно описывает состояние свободной
микрочастицы.
К № 2. В соответствии с принципом неопределённостей (п/п. 1.4.3) наличие у частицы определённого импульса означает, что неопределённость её положения в пространстве бесконечна. Этому требованию в соответствии с (3.2.3) удовлетворяет волновая функция свободной частицы.
К № 3. В общей формулировке принципа корпускулярно – волнового дуализма не очень ясно, что конкретно подразумевается под наличием у корпускулы волновых свойств. Однако коль скоро состояние микрочастицы описывается волновой функцией, то очевидно, что носителем волновых свойств микрочастицы служит
162
именно эта функция. Указанное обстоятельство и оправдывает название этой функции.
Очевидно, что состояние микрочастицы с определённым импульсом вследствие (2.3.8), (3.2.2) является стационарным (см. п/п. 2.3.1), и в соответствии с (2.3.21)
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
ψ p |
x |
(t, x) = exp |
− |
|
Et u p |
x |
(x) . |
(3.2.6) |
|
h |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Ввиду (3.2.3), (3.2.5) и (2.3.22) «координатная» часть собственной функции оператора импульса u px (x) (3.2.6) должна удовлетворять соотношениям
|
u px (x) |
|
2 = const; |
(3.2.7) |
|
|
|||
u px (x ± λn) =u px (x) ; n = 1, 2, ... |
(3.2.8) |
|||
Вследствие (3.2.3), (3.2.7) собственную функцию оператора импульса — волновую функцию свободной частицы — невозможно нормировать «на единицу» (2.1.9) (см. обсуждение этого вопроса в п/пп. 2.3.3 и 2.3.5), так что выражения (3.2.3) и (3.2.7) не могут служить «полноценной» плотностью вероятности положений в пространстве микрочастицы с определённым импульсом.
163