Однако, согласно М. Борну, имеет смысл квадрат модуля волновой функции, определяющий плотность вероятности местоположения микрочастицы (2.1.4). Конечно, плотность вероятности непосредственно измерить нельзя, но эту функцию случайной величины можно построить по результатам случайных испытаний, многократно измеряя значение соответствующей случайной величины. Например, расстояние электрона от ядра в атоме водорода, конечно, является случайной величиной. Если измерять эту величину, то результаты измерения каждый раз будут разными. Но, подсчитав количества результатов таких измерений, «попавших» в тот или иной интервал расстояний, можно построить и функцию P(r), которая описывает плотность вероятности случайного события «расстояние электрона от ядра равно r».
2.1.3. Статистические характеристики случайных величин
Из теории вероятностей известно, что, зная распределение случайной величины ξ, можно подсчитать её статистические характеристики: среднее значение (математическое ожидание) ξ ,
среднеквадратичное значение, т.е. среднее значение квадрата случайной величины ξ2 , дисперсию
|
|
|
= |
|
−(ξ |
)2 , |
|
(ξ −ξ |
)2 |
|
|||||
D(ξ) ≡ |
ξ2 |
(2.1.12) |
87
(первое из двух равенств (2.1.12) — определение, второе требует доказательства), среднеквадратичное отклонение (root–mean–square deviation)
ξrms = D(ξ) |
(2.1.13) |
и вообще среднее значение f (ξ) любой функции этой случайной величины f(ξ).
Для дискретной случайной величины (1.4.21) подсчёт выполняется по распределению вероятностей (1.4.23):
|
|
nmax |
|
nmax |
|
|
|
= ∑wnξn ; |
f (ξ) = ∑wn f (ξn ) ; |
(2.1.14) |
|
ξ |
|||||
|
|
n=1 |
|
n=1 |
|
для непрерывной случайной величины — по распределению
(1.4.26):
|
|
ξmax |
∞ |
|
∞ |
|
|
∫ξP(ξ)dξ ; |
|
|
|
|
|
= ∫ξP(ξ)dξ ≡ |
f (ξ) = ∫ f (ξ)P(ξ)dξ . (2.1.15) |
||
ξ |
|||||
|
|
ξmin |
−∞ |
|
−∞ |
Задача 2.1. Докажите второе равенство (2.1.12) для вычисления дисперсии.
Примечание: это равенство справедливо для обоих типов случайных величин. Попробуйте доказать его в общем виде.
88
Задача 2.2. Выведите формулы для расчёта среднего значения и среднеквадратичного отклонения равномерно распределённой случайной величины:
а) дискретной (1.4.24);
б) непрерывной (1.4.29), (1.4.30).
2.1.4. Статистические характеристики координат микрочастицы
Координаты микрочастицы x, y, z, определяющие её положение в пространстве, являются непрерывными случайными величинами, совместное распределение которых описывается плотностью вероятности (2.1.4). Таким образом, зная волновую функцию микрочастицы, можно по формулам (2.1.15) подсчитать математическое ожидание (среднее значение) координат частицы в данный момент времени — например,
x(t) = ∫x |
|
ψ(t, r) |
|
2 |
d |
3 |
r , |
(2.1.16) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(∞)
или в общем случае, используя обозначения (2.1.11),
xα (t) = ∫xα |
|
ψ(t, r) |
|
2 |
d |
3 |
r ; |
α = 1, 2, 3. |
(2.1.17) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(∞)
89
Зная волновую функцию, можно также, например, вычислить среднеквадратичное отклонение положения микрочастицы от его среднего значения (математического ожидания). Для этого, используя (2.1.15), вначале надо вычислить среднее значение квадрата координаты
2 |
(t) = |
2 |
|
ψ(t, r) |
|
2 |
d |
3 |
r ; |
α = 1, 2, 3, |
(2.1.18) |
|
|
||||||||||
xα |
∫xα |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(∞)
а затем подставить (2.1.18) в соотношения (2.1.12), (2.1.13):
x |
(t) = x2 |
(t) − x 2 |
(t) ; α = 1, 2, 3. |
(2.1.19) |
αrms |
α |
α |
|
|
Среднеквадратичное отклонение координаты (2.1.19) обычно используют как значение неопределённости координаты микрочастицы — см. п/п. 1.4.3.
Зависимости средних значений координат частицы от времени (2.1.17) в определённых случаях образуют некоторую непрерывную пространственную кривую, «похожую» на траекторию классической частицы. Можно ожидать, что если неопределённости координат (2.1.19) достаточно малы по сравнению с характерным геометрическим масштабом задачи — см. п/п. 1.1.4, (1.4.18), то кривая (2.1.17) с приемлемой точностью совпадёт с классической траекторией рассматриваемого микрообъекта.
Однако оговорки вроде «похожая» и «можно ожидать» в тексте предыдущего абзаца не случайны. В частности, как мы увидим
90