|
− |
i |
Et |
|
|
|
ψ(t, r , r |
|
, r |
,..., r ) . |
(7.1.1) |
||
,..., r )=e |
h |
u(r |
||||
1 2 |
N |
|
1 |
2 |
N |
|
Пространственный множитель волновой функции (7.1.1) определяется стационарным уравнением Шрёдингера
2 |
N |
|
|
||
− |
h |
∑ |
1 |
iu + Φ(t, r1, r2,..., rN )u = Eu, |
(7.1.2) |
2 |
m |
||||
|
|
i=1 i |
|
|
|
где (2.2.7)
i = ∂2 + ∂2 + ∂2 . ∂xi2 ∂yi2 ∂zi2
В общем случае потенциальная энергия в (7.1.2) складывается из потенциальной энергии отдельных частиц в поле внешних сил, которая зависит от их положений в пространстве по отношению к источнику поля (2.2.8),
N |
|
Φ(e) (t, r1, r2,..., rN ) = ∑Φi(e) (t, ri ) |
(7.1.3) |
i=1
и потенциальной энергии сил взаимодействия частиц друг с другом Φ(i) , которая определяется их взаимным расположением
(2.2.9).
Рассмотрим случай, когда взаимодействие отсутствует, и 358
Φ(t, r1, r2,..., rN ) =Φ(e) .
Уравнение (7.1.2) с учётом (7.1.2), (7.1.3) без труда решается методом разделения переменных:
N |
|
u(r1, r2 ,..., rN ) =∏u(i) (ri ). |
(7.1.4) |
i=1
Каждый из сомножителей в правой части произведения (7.1.4) — это волновая функция одной из частиц, находящейся в поле действующей на неё внешней силы:
− |
h2 |
u(i) + Φi(e) (t, r) u(i) (r)=E(i) u(i) (r), 1≤ i ≤N. |
(7.1.5) |
|
2mi |
||||
|
|
|
[Индекс при переменной, от которой зависит одночастичная волновая функция u(i) (r), в уравнении (7.1.5) опущен: этот индекс нужен только в записи многочастичной волновой функции (7.1.4), чтобы отличать разные, но однотипные переменные, от которых она зависит]. При этом энергия микросистемы складывается из энергий отдельных микрочастиц:
N |
|
E =∑E(i) . |
(7.1.6) |
i=1
359
Соотношение (7.1.4) имеет вполне очевидный вероятностный смысл. Квадрат модуля волновой функции (7.1.4) равен плотности вероятности
P(r , r ,..., r |
N |
)= |
|
u(r , r ,..., r |
N |
) |
|
2 |
(7.1.7) |
|
|
||||||||
1 2 |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
случайного события, состоящего в том, что частица 1 находится в точке r1, частица 2 — в точке r2 ,..., частица N — в точке rN . Но поскольку частицы не взаимодействуют, то их динамические состояния взаимно независимы. Поэтому рассматриваемое «сложное» случайное событие «состоит» из N независимых элементарных случайных событий, и по известному закону теории вероятности вероятность (плотность вероятности) такого сложного события равна произведению вероятностей (плотностей вероятностей) составляющих элементарных событий. Но именно это и следует из соотношений (7.1.4), (7.1.7):
N |
|
P(r1, r2 ,..., rN )=∏P(i) (ri ) , |
(7.1.8) |
i=1
где
P(i) (r) = |
|
u(i) (r) |
|
2. |
(7.1.9) |
|
|
||||
360 |
|
|
|
||
Можно заметить, что если частицы, входящие в состав микросистемы, одинаковы (точнее, тождественны), то выражение (7.1.4) оказывается неоднозначным. В самом деле: произведение в правой части (7.1.4) будет зависеть от того, как пронумерованы частицы. Но если частицы неразличимы, то их нельзя и «снабдить» номерами. Это противоречие снимается в квантовой теории систем тождественных частиц.
При наличии взаимодействия между частицами (2.2.9),
потенциальная энергия которого Φ(i) (r12 , r13,..., rN −1,N ) зависит не
от положений, а от взаимного расположения частиц (2.2.10)
rij = |
rij |
≡ |
rj −ri |
, |
(7.1.10) |
динамические состояния частиц оказываются взаимосвязанными, а их положения в пространстве (и другие динамические характеристики) — взаимозависимыми. Поэтому соотношение (7.1.9) уже не имеет место, а энергия системы (7.1.6) не складывается из энергий отдельных частиц. Разумеется, в этом общем случае уравнение Шрёдингера (7.1.2) уже не удастся решить методом разделения переменных (7.1.4). Поэтому мы оказываемся перед необходимостью решать «в лоб» уравнение с частными производными второго порядка, содержащего 3N независимых переменных.
361