Вопросы для самопроверки
3.3.1.Какое состояние микрочастицы описывает собственная функция оператора координаты?
3.3.2.Каковы основные свойства дельта – функции Дирака?
3.3.3.Как воздействует оператор координаты на произвольную волновую функцию и на свою собственную функцию?
3.3.4.Как записать общую собственную функцию операторов трёх декартовых координат микрочастицы?
3.4.Оператор Гамильтона
3.4.1.Принцип соответствия Н. Бора
Хотя квантовомеханическое описание микросистем (волновая функция, уравнение Шрёдингера) не имеет практически ничего общего с описанием на основе классической механики (траектория, уравнения Ньютона), но, как мы неоднократно подчёркивали, при определённых условиях (см. п/п. 1.4.7) квантовые эффекты оказываются несущественными, и результаты квантового описания должны совпасть с выводами классической механики. Для этого, очевидно, математический аппарат квантовой механики должен быть устроен надлежащим образом, содержа возможность перехода к классическому описанию в соответствующем пределе.
197
Требования, которым должен удовлетворять математический аппарат квантовой механики (а ещё шире — квантовой физики), чтобы обеспечить переход к классическому описанию микросистем, сформулировал Н. Бор. Они называются принципом соответствия.
Существуют различные формулировки принципа соответствия, зависящие от того, к какой конкретной физической ситуации этот принцип применяется. Мы предложим простую, хотя не универсальную и не вполне строгую формулировку, которая, впрочем, вполне удовлетворяет наши потребности и легко обобщается. Эта формулировка представляет собой правило, как, зная вид динамической переменной некоторой системы в классической механике, построить квантовый оператор, представляющий данную динамическую переменную.
Пусть интересующая нас динамическая переменная, обладающая f степенями свободы, является определённой функцией координат f и «сопряжённых» (т.е.
относящихся к тем же степеням свободы механической системы) импульсов p1, p2 ,..., p f , а также, возможно, времени t:
F ≡ F(t,q1, q2,..., q f , p1, p2 ,..., p f ). |
(3.4.1) |
Тогда оператор Fˆ , представляющий данную динамическую переменную в квантовой механике, должен быть такой же функцией операторов координат и импульсов:
198
ˆ |
|
,..., q |
, p , p |
,..., p |
|
). |
(3.4.2) |
F ≡ F(t,q , q |
f |
||||||
ˆ1 |
ˆ2 |
ˆ f |
ˆ1 ˆ 2 |
ˆ |
|
|
|
Необходимо пояснить, что означает «функция оператора».
В п/п. 3.2.3 мы уже познакомились с функцией «квадрат оператора». Обобщая приведенные там рассуждения, дадим определение оператора «оператор в произвольной целочисленной степени n». Если оператором ξˆ воздействовать на какую–либо
функцию ψ(t,q f ) (см. п/п. 2.2.5), получим другую функцию
ψ1(t,q f ). Воздействовав на ψ1(t,q f ) снова оператором ξˆ, получим ещё одну функцию ψ2 (t,q f ) — и т.д. Результатом n – го шага будет функция ψn (t,q f ).
Оператор ξˆn , который, подействовав на ψ(t,q f ), сразу даёт
ψn (t,q f ), по определению, и есть «n – я степень оператора ξˆ»:
ˆn |
ψ(t,q |
f |
ˆ |
ˆ |
f |
)) = ψn (t,q |
f |
). (3.4.3) |
ξ |
|
) ≡ ξ |
(ξ (… n раз)ψ(t,q |
|
|
Теперь рассмотрим произвольную функцию f(ξ) и разложим её в ряд Тейлора:
f(ξ) = f (ξ0 ) + f ′(ξ0 )(ξ −ξ0 )+ 21! f ′′(ξ0 )(ξ −ξ0 )2+ 31! f ′′′(ξ0 )(ξ −ξ0 )3 +…
199
Оператор f (ξˆ) называется функцией оператора ξˆ, если результатом его воздействия на произвольную функцию ψ(t,q f )
является следующее выражение, содержащее степени оператора ξˆ
и единичный оператор 1ˆ :
|
ˆ |
|
|
f |
) = f (ξ0 ) ψ(t,q |
f |
) + |
|
′ |
ˆ |
ˆ |
|
|
f |
) + |
||||||||
f (ξ) ψ(t,q |
|
|
f (ξ0 )(ξ −ξ01) ψ(t,q |
|
|||||||||||||||||||
+ |
1 |
|
f |
′′ |
|
ˆ |
ˆ |
2 |
ψ(t,q |
f |
) + |
1 |
|
′′′ |
ˆ |
ˆ |
3 |
ψ(t,q |
f |
) +… (3.4.4) |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2! |
(ξ0 )(ξ |
−ξ01) |
|
|
3! |
f (ξ0 )(ξ |
−ξ01) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поскольку равенство (3.4.4) справедливо для любой функции
ψ(t,q f ), то его можно переписать в «чисто» операторном виде:
f (ξˆ) ≡ f (ξ0 ) + f ′(ξ0 )(ξˆ −ξ01ˆ) + 21! f ′′(ξ0 )(ξˆ −ξ01ˆ)2 +
+ |
1 |
|
′′′ |
ˆ |
ˆ |
3 |
+… |
(3.4.5) |
|
|
|||||||
3! |
f (ξ0 )(ξ |
−ξ01) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь, используя определение (3.4.5), на основе принципа соответствия (3.4.2) с некоторыми оговорками (которых мы пока для простоты не будем делать) можно сконструировать оператор любой динамической переменной.
Разумеется, справедливость принципа соответствия Н. Бора в конечном счёте можно проверить, только сравнив полученные с его использованием результаты с экспериментом. Поскольку этот принцип используется в квантовой механике при конструировании любых операторов, более сложных, чем операторы координаты и
200