- •ВВЕДЕНИЕ
- •ЛИТЕРАТУРА
- •1. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА — РЕВОЛЮЦИЯ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ
- •1.1. Классическая картина мира
- •1.1.1. Мир материален
- •1.1.2. Две формы существования материи
- •1.1.3. Вещество
- •1.1.4. Поле
- •1.1.5. Сосуществование вещества и поля
- •1.1.6. Экспериментальные факты, противоречащие классической физике
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Классическая механика
- •1.2.1. Уравнения движения
- •1.2.2. Математическая модель
- •1.2.3. Потенциальная энергия
- •1.2.4. Энергия
- •1.2.5. Сохранение энергии
- •1.2.6. Импульс
- •1.2.7. Функция Гамильтона
- •1.2.8. Релятивистская механика
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Классическая теория поля
- •1.3.1. Гравитационное поле
- •1.3.2. Закон всемирного тяготения
- •1.3.3. Потенциальная энергия силы тяготения
- •1.3.4. Сила тяготения
- •1.3.5. Общая теория гравитации
- •1.3.6. Электромагнитное поле
- •1.3.7. Уравнения электромагнитного поля
- •1.3.8. Электрическое поле
- •1.3.9. Напряжённость электрического поля
- •1.3.10. Другие поля
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Основные принципы квантовой физики
- •1.4.1. Краткая история квантовой физики
- •1.4.2. Корпускулярно – волновой дуализм
- •1.4.3. Принцип неопределённостей
- •1.4.4. Вероятностный характер динамических событий
- •1.4.5. Крушение или рождение картины мира?
- •1.4.6. Принцип дополнительности Н. Бора
- •1.4.7. Почему мы не видим квантовых эффектов?
- •Вопросы для самопроверки
- •2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
- •2.1. Волновая функция
- •2.1.1. Волновая функция микрочастицы
- •2.1.2. Вероятностный смысл волновой функции
- •2.1.3. Статистические характеристики случайных величин
- •2.1.4. Статистические характеристики координат микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Вычисление волновой функции
- •2.2.1. Волновое уравнение
- •2.2.2. Волновая функция системы нескольких частиц
- •2.2.3. Волновое уравнение системы нескольких частиц
- •2.2.4. Волновая функция и волновое уравнение частицы с одной степенью свободы
- •2.2.5. Уравнение Шрёдингера в операторном виде
- •2.2.6. Общие требования к решениям уравнения Шрёдингера
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3. Замкнутая микросистема
- •2.3.1. Решение уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •2.3.2. Стационарные состояния
- •2.3.3. Связанные состояния
- •2.3.4. Стационарные связанные состояния
- •2.3.5. Общие черты решений одномерных задач о связанных стационарных состояниях
- •2.3.6. Состояния рассеяния
- •2.3.7. Общие черты решений одномерных стационарных задач о рассеянии микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •3. ОПЕРАТОРЫ ИМПУЛЬСА, КООРДИНАТЫ И ЭНЕРГИИ МИКРОЧАСТИЦЫ
- •3.1. Как построить оператор динамической переменной
- •3.1.1. Зачем нужны операторы в квантовой механике
- •3.1.2. Собственные функции и собственные значения операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •3.2. Оператор импульса
- •3.2.1. Свойства собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.2. Вычисление собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.3. Оператор импульса микрочастицы с одной степенью свободы
- •3.2.4. Операторы проекций импульса микрочастицы и их общие собственные функции
- •3.2.5. Является ли свободная микрочастица «плоской волной»?
- •Вопросы для самопроверки
- •3.3. Оператор координаты
- •3.3.1. Свойства собственной функции оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.2. Дельта – функция Дирака
- •3.3.3. Собственная функция оператора координаты и свойство оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.4. Операторы координат микрочастицы и их общая собственная функция
- •Вопросы для самопроверки
- •3.4. Оператор Гамильтона
- •3.4.1. Принцип соответствия Н. Бора
- •3.4.2. Оператор кинетической энергии микрочастицы
- •3.4.3. Оператор потенциальной энергии микрочастицы
- •3.4.4. Оператор Гамильтона микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •4.1. Пространство волновых функций
- •4.1.1. Функциональное пространство
- •4.1.2. Скалярное произведение функций
- •4.1.3. Амплитуда и вероятность перехода
- •Вопросы для самопроверки
- •4.2. Сопряжённые и самосопряжённые операторы
- •4.2.1. Сопряжённый оператор
- •4.2.2. Самосопряжённый оператор
- •Вопросы для самопроверки
- •4.3. Собственные значения и собственные функции самосопряжённых операторов
- •4.3.1. Собственные значения
- •4.3.2. Собственные функции
- •4.3.3. Полнота системы собственных функций самосопряжённого оператора
- •4.3.4. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Дискретный спектр собственных значений
- •4.3.5. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Непрерывный спектр собственных значений
- •4.3.6. Разложение волновой функции произвольного стационарного состояния микрочастицы по полной ортонормированной системе собственных функций оператора импульса
- •4.3.7. Тригонометрическое представление дельта – функции
- •Вопросы для самопроверки
- •4.4. Распределение вероятностей динамической переменной
- •4.4.1. Вероятность результата измерения динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.2. Среднее значение динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.3. Плотность вероятности результата измерения динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.4. Среднее значение динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.5. Коэффициент разложения как волновая функция в F – представлении
- •Вопросы для самопроверки
- •4.5. Теоремы П. Эренфеста
- •4.5.1. Формулировки, смысл и применение теорем П. Эренфеста
- •4.5.2. Доказательство первой теоремы П. Эренфеста
- •4.5.3. Доказательство второй теоремы П. Эренфеста
- •Вопросы для самопроверки
- •5. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ
- •5.1. Коммутация операторов
- •5.1.1. Основные правила алгебры операторов
- •5.1.2. Коммутатор операторов
- •5.1.3. Коммутаторы операторов координат и проекций импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.2. Свойства произведений операторов
- •5.2.1. Оператор, сопряжённый произведению операторов
- •5.2.2. Самосопряжённые комбинации самосопряжённых операторов
- •5.2.3. Положительно определённые операторы
- •Вопросы для самопроверки
- •5.3. Теорема В. Гайзенберга
- •5.3.1. Неравенство Гайзенберга
- •5.3.2. Следствие неравенства Гайзенберга
- •5.3.3. Соотношение неопределённостей между координатой и проекцией импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.4. Общие собственные функции коммутирующих самосопряжённых операторов
- •5.4.1. Прямая теорема об общих собственных функциях коммутирующих операторов
- •5.4.2. Обратная теорема об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.5. Когда динамические переменные могут, а когда не могут одновременно иметь определённые значения?
- •5.5.1. Что запрещают соотношения неопределённостей
- •5.5.2. Что разрешают теоремы об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.6. Динамическое уравнение Гайзенберга
- •5.6.1. Скорость изменения среднего значения динамической переменной
- •5.6.2. Уравнения Эренфеста как частные случаи уравнений Гайзенберга
- •Вопросы для самопроверки
- •6. МИКРОЧАСТИЦА В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
- •6.1. Момент импульса
- •6.1.1. Центральная сила
- •6.1.2. Момент импульса как классическая динамическая переменная микрочастицы
- •6.1.3. Сохранение момента импульса классической частицы в центральном поле
- •6.1.4. Сохранение энергии классической частицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.2. Оператор момента импульса
- •6.2.1. Коммутационные соотношения между операторами проекций момента импульса
- •6.2.2. Коммутационные соотношения между операторами квадрата и проекций момента импульса
- •6.2.3. Сохранение момента импульса микрочастицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.3. Собственные функции и собственные значения оператора момента импульса
- •6.3.1. Операторы квадрата и проекций момента импульса в декартовых и сферических координатах
- •6.3.2. Собственные значения операторов квадрата и проекции момента импульса
- •6.3.3. Собственные функции операторов квадрата и проекции момента импульса в сферических координатах
- •Вопросы для самопроверки
- •6.4. Стационарные состояния микрочастицы в поле центральной силы
- •6.4.1. Интегралы движения
- •6.4.2. Решение стационарного уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •6.4.3. Радиальное уравнение
- •6.4.4. Характер решений радиального уравнения Шрёдингера
- •6.4.5. Вырождение энергетических уровней
- •Вопросы для самопроверки
- •7. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ МИКРОЧАСТИЦ
- •7.1. Переносное и относительное движение двух частиц
- •7.1.1. Система многих микрочастиц
- •7.1.2. Координаты центра масс и относительного расположения двух частиц
- •7.1.3. Разделение переменных в стационарном уравнении Шрёдингера
- •7.1.4. Центральная сила взаимодействия микрочастиц
- •Вопросы для самопроверки
- •7.2. Двухатомная молекула
- •7.2.1. Эффективная потенциальная энергия межатомного взаимодействия в молекуле
- •7.2.2. Колебательно – вращательные энергетические уровни и радиальные волновые функции молекулы
- •7.2.3. Модель «гармонический осциллятор – жёсткий ротатор» для приближённого описания колебательно – вращательных состояний двухатомной молекулы
- •Вопросы для самопроверки
- •7.3. Атом водорода и водородоподобные ионы
- •7.3.1. Состояния относительного «движения» электрона и ядра
- •7.3.2. Энергетические уровни
- •7.3.3. Волновые функции
- •7.3.4. Сравнение теории с экспериментом
- •Вопросы для самопроверки
обнаружить микрообъект в данной области пространства?» и «какова вероятность того, что значение скорости объекта находится в заданном интервале?»
Естественно, что в подобных условиях теряет смысл понятие траектории микрообъекта. Вместо неё приходится говорить лишь о распределённом с той или иной плотностью P(t ,x, y, z) ≡ P(t, r) в пространстве «облаке вероятности», в тех или иных областях которого с той или иной вероятностью в момент t возможно обнаружить данный объект. Другое «облако вероятности»
P(t, px , py , pz ) ≡ P(t, p), расположенное уже не в «обычном»
пространстве |
координат |
{x, y, z}, а в «пространстве |
импульсов» |
{ px , py , pz }, |
определяет |
распределение вероятности |
различных |
значений импульса (скорости) объекта.
То же можно сказать и о других динамических переменных микросистем: одни из них являются непрерывными, а другие — дискретными случайными величинами.
1.4.5. Крушение или рождение картины мира?
Квантовая физика, равно как и теория относительности, впервые в истории человечества вторглась в ту область физических явлений, по поводу которых у человека не было и не могло быть никакого чувственного опыта. Поэтому такие открываемые физиками атрибуты действительности, как корпускулярное строение света, наличие волновых свойств у частиц, отсутствие у
73
них траекторий, квантование энергии, случайный характер событий микромира и т.п., вначале воспринимались публикой как измышления извращённого ума. Лишь по прошествии известного времени люди свыклись с мыслью о том, что природа вовсе не обязана разговаривать с ними на человеческом языке, то есть в системе понятий, адекватных повседневной практике людей, и что надо учиться разговаривать с природой на её языке. Академик Л.Д. Ландау говорил: самое большое достижение современной физики состоит в том, что люди научились воображать то, что невозможно себе представить.
Следует заметить, что сами пионеры революции в физике ХХ века отнюдь не были единодушны в интерпретации новых теорий. Известно, что М. Планк, будучи «классическим» физиком до мозга костей, вовсе не считал себя провозвестником новой физики и старался дистанцироваться от её «безумных» идей. Ещё более известна многолетняя дискуссия между Копенгагенской школой во главе с Н. Бором, пропагандировавшей «безумную» идею о случайном характере динамических процессов в микромире, исход которых можно предсказать только в терминах теории вероятностей, и А. Эйнштейном, который яростно отстаивал принцип детерминизма (причинности), выдумывал всевозможные мысленные эксперименты, демонстрирующие абсурдность измышлений копенгагенцев, и повторявший: «Я не могу поверить, что Господь Бог играет в кости!». В течение многих лет Эйнштейн пытался найти «скрытые параметры», дополнительные динамические характеристики микрообъектов, знание которых
74
превратило бы микропроцессы из случайных во вполне закономерные (см. обсуждение в п/п. 1.4.4).
Последующие события убедительно показали, что в этом споре Бор был прав, а Эйнштейн, увы, нет. Скрытых параметров обнаружить никому не удалось. Однако отсюда вовсе не следует, что в микромире, который описывает квантовая физика, не действует принцип причинности. Зависимости от времени распределений вероятности значений динамических переменных микросистем, а также их статистических характеристик — средних значений (математических ожиданий), дисперсий и т.д. — вполне закономерны и причинно обусловлены. Но — только распределения вероятностей, а вовсе не сами значения динамических переменных — наблюдаемые величины.
Таким образом, в первой трети ХХ века оказалось, что стройная, красивая и завершённая классическая картина мира ограничена рамками только тех явлений, которые доступны чувственному восприятию человека. Рядом бурными темпами начала расти трудно обозримая, причудливая и вычурная в стиле «модерн» структура новых знаний об устройстве мира. Этот процесс роста не окончен и сегодня. Однако старые знания вовсе не оказались отвергнутыми и опровергнутыми: они были включены в новую структуру знаний о мире как некий предельный случай, когда масштабы явлений природы соразмерны с геометрическими и временными масштабами познающего их субъекта — человека.
75
1.4.6. Принцип дополнительности Н. Бора
Для того чтобы надлежащим образом интерпретировать открывшуюся человечеству незнакомую картину мира и научиться разговаривать с природой на её языке, потребовались не только новые физические теории, но и новые мировоззренческие, т.е. философские подходы.
Заслуга в формулировании одного из таких подходов к обсуждаемой проблеме принадлежит Н. Бору, который предложил принцип дополнительности. Он обратил внимание на то, что свойство «демонстрировать» наблюдателю в зависимости от способа наблюдения свои как бы взаимоисключающие атрибуты — а на самом деле атрибуты, образующие неразрывное единство, обнаруживают не только микрообъекты (в одних условиях корпускулы, в других — волны), но и самые разнообразные явления природы и общества. При этом природа устроена так, что эти взаимоисключающие атрибуты никогда не могут наблюдаться одновременно.
Очевидно, принцип дополнительности Бора является дальнейшим развитием хорошо известного в диалектике закона единства противоположностей. Деньги — это средство накопления или обращения? Человек добр или зол? Технологическая цивилизация — путь человечества к счастью или к гибели? Диалектика говорит, что любая сущность внутренне противоречива и что «борьба противоположностей» есть двигатель развития, эволюции. Принцип дополнительности добавляет: чтобы это
76