уже известно, и другое, «радиальное» (6.4.12) — обыкновенное дифференциальное уравнение.

6.4.3. Радиальное уравнение

Преобразуем уравнение (6.4.12) относительно радиальной функции R(r) к более удобному виду. Для этого заменим функцию

R(r) другой функцией χ(r) ≡ r R(r), так что

Заметим, что с учётом (6.4.13)

После рассмотренной замены дифференциальное уравнение (6.4.12) приобретёт следующий вид:

где в соответствии с (6.4.9), (6.4.11)

348

Соотношение (6.4.15), которое мы будем называть радиальным уравнением, имеет вид обычного одномерного стационарного уравнения Шрёдингера (2.3.27). Однако эти уравнения не идентичны. Первое отличие состоит в том, что в уравнении Шрёдингера фигурирует «настоящая» потенциальная энергия

«настоящая», т.е. декартова, а обобщённая координата. В

Поскольку при r = 0 радиальная функция R(0) (6.4.14) должна быть конечной, чтобы конечной при этом осталась и волновая функция частицы u(x, y, z) (6.4.5), функция χ(r) должна быстро стремиться к нулю при r → 0:

Соотношение (6.4.17) является обязательным граничным условием для решений дифференциального уравнения (6.4.15) относительно

χ(r).

349

В самом деле: рассматривая уравнение (6.4.15) формально как обычное одномерное уравнение Шрёдингера, следовало бы обеспечить невозможность проникновения микрочастицы в область r < 0. Это означает, что решение такого уравнения должно удовлетворять условию χ(r < 0) ≡ 0 . Но тогда из условия непрерывности волновой функции при r = 0 получим граничное условие χ(0) = 0 .

6.4.4. Характер решений радиального уравнения Шрёдингера

Если эффективный потенциал Φ(r) описывает притяжение между частицей и источником поля, возможно образование связанных состояний. Разумеется, для этого притягивательным должен быть прежде всего сам «истинный» потенциал взаимодействия Φ(r), поскольку центробежная энергия в эффективном потенциале Φeff (r, M 2 ) (6.4.16), где M 2 = h2l(l +1) ,

лишь ослабляет связь и, в принципе, при достаточно больших азимутальных (вращательных) квантовых числах l может её разорвать.

При этом нетривиальные решения радиального уравнения (6.4.15) имеют место только при отдельных значениях (уровнях) энергии El,v , которые можно перенумеровать целым числом v = 0, 1, 2,... Оно называется колебательным (vibration) или радиальным квантовым числом. Поскольку квантовое число l входит в

350

уравнение (6.4.15) в качестве параметра, то от него зависят и значения уровней энергии. Теми же числами нумеруются и волновые функции χl,v (r) , «принадлежащие» этим уровням

энергии. Таким образом, в случае связанных состояний имеет место эффект «квантования» энергии (и набора состояний) системы частиц.

Как всегда в подобных случаях, условие конечности решений рассматриваемого уравнения приводит к тому, что

Данное условие показывает, что вероятность обнаружить частицу на большом расстоянии от центра силы быстро уменьшается по мере увеличения расстояния. Это в грубых чертах соответствует «финитному» характеру относительного движения частиц в классической механике.

Следует отметить, что решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (6.4.15) при «нулевых» граничных условиях (6.4.17) и (6.4.18) представляет собой задачу Штурма – Лиувилля (см. п/п. 2.3.7) с дискретным спектром собственных значений параметра Е. Формально это и является причиной квантования энергии.

В рассматриваемом случае вид волновой функции (6.4.5) (т.е. характер зависимости её от переменных), описывающей состояние относительного колебательно – вращательного «движения» двух

351

частиц, находящихся в связанном состоянии, зависит от трёх квантовых чисел:

Волновая функция, описывающая любое связанное состояние микрочастицы, вследствие упомянутого выше поведения «на бесконечности» имеет конечную норму. Поэтому всегда можно подобрать нормировочный множитель так, чтобы

∫∫∫ul,ml ,v (x, y, z) 2dxdydz =

Поскольку вследствие условия нормировки сферической функции — углового сомножителя волновой функции (6.3.14) — интеграл от неё по угловым переменным равен единице, из (6.4.20) следует условие нормировки для функции χl,v (r) :

Указанное выше предельное поведение подынтегральной функции (6.4.18) в этом выражении является необходимым, хотя и

352