Но при α → ∞ xn * → 0 при любом n, и, следовательно, ϕ(± xn *)

→ ϕ(0). Следовательно,

Сумма же интегралов в квадратных скобках есть просто интеграл от функции f(x,α) по всей области интегрирования:

∞ ∞

∫ϕ(x) f (x,α)dx =ϕ(0) ∫ f (x,α)dx .

−∞ −∞

Но интеграл в правой части полученного равенства вследствие

(4.3.48) равен 1. Таким образом, в пределе при α → ∞ полученное равенство превращается в требуемое соотношение (4.3.49).

Вопросы для самопроверки

4.3.1.Докажите, что любое собственное значение самосопряжённого оператора является действительным числом.

4.3.2.Докажите, что любые собственные функции самосопряжённого оператора, принадлежащие разным собственным значениям, ортогональны.

248