Даже численное решение такого уравнения с применением суперкомпьютеров является непреодолимой проблемой, не говоря уже о возможностях его аналитического решения.

Не следует, однако, думать, что многочастичные задачи в квантовой механике не решаются. Существует целая область квантовой механики, в которой проводятся расчёты волновых функций и энергетических уровней многоэлектронных атомов, простых и даже сложных молекул, сил межмолекулярного взаимодействия — квантовая химия. Однако многочастичные уравнения Шрёдингера решаются там не «в лоб», а в преобразованном виде с помощью особой итерационной процедуры, которая называется вариационным методом Хартри – Фока – Рутана.

7.1.2. Координаты центра масс и относительного расположения двух частиц

В настоящей главе мы, наконец, получаем возможность, базируясь на развитом в предыдущих главах теоретическом аппарате, рассмотреть две реальные задачи квантовой механики, результаты решения которых могут быть непосредственно сопоставлены с экспериментальными данными. Одна из них — это задача о характере колебательно – вращательного энергетического спектра двухатомной молекулы. Вторая — о стационарных связанных состояниях электрона и атомного ядра, которые образуют атом водорода или изотопа водорода (дейтерия, трития), а

362

также одноэлектронные положительные ионы: однократно заряженный ион гелия, двукратно заряженный ион лития и т.д.

В обеих этих задачах участвуют две микрочастицы, связанные центральной силой взаимодействия. В задаче об атоме водорода и водородоподобных ионах это — точечные противоположно заряженные микрочастицы, которые взаимодействуют по закону Кулона. В задаче о двухатомной молекуле это — два атомных ядра, которые объединены силой химической связи.

Стационарные состояния системы двух взаимодействующих микрочастиц описываются волновыми функциями зависящими от шести переменных — координат r1(x1, y1, z1) и

r2(x2, y2, z2) .

Соответствующее стационарное уравнение Шрёдингера (7.1.2) (N= 2) является уравнением с частными производными второго порядка с шестью переменными:

где

а потенциальная энергия Φ(r1, r2 ) зависит от положений в пространстве каждой частицы.

363

Решение этой задачи существенно упростится, если отсутствует внешнее силовое поле, а потенциальная энергия Φ описывает только взаимодействие между частицами. В этом случае она зависит не от положения каждой из частиц в пространстве, а от их

взаимного расположения (7.1.10).

Очевидно, что если внутренняя структура взаимодействующих микрочастиц не меняется с течением времени, то и потенциальная энергия взаимодействия микрочастиц явно не зависит от времени,

т.е. ∂Φ/ ∂t = 0, и такая система действительно находится в стационарном состоянии.

Относительное расположение частиц определяется радиус – вектором

соединяющим их центры. Декартовы координаты этого вектора обозначим

x = x2 − x1; y = y2 − y1; z = z2 − z1.

Поэтому, как и указывалось в п/п. 7.1.1 — см. (7.1.10)

Φ(r1, r2 ) = Φ(r2 −r1) = Φ(r) = Φ(x, y, z) . (7.1.13)

В рассматриваемом случае в уравнении Шрёдингера удобно перейти от шести декартовых координат двух частиц к шести же

364

обобщённым координатам, учитывающим как взаимное расположение частиц, так и положение этой системы в пространстве как целого. Три из них мы уже ввели: это r(x, y, z).

Ещё три — координаты центра масс системы R(X ,Y , Z ) :

При этом, как следует из (7.1.12), (7.1.14), декартовы координаты частиц следующим образом выражаются через введенные выше обобщённые координаты:

После преобразований по замене переменных в уравнении Шрёдингера с использованием полученных формул оно примет следующий вид:

где

365