микрочастицы (2.3.33): нетривиальные решения возможны не при «отдельных», а при любых значениях энергии. Иными словами, энергетический спектр состояний рассеяния — не дискретный, а непрерывный (сплошной).

Теория рассеяния является отдельным сложным разделом квантовой механики. В дальнейшем предполагается познакомить читателей с общим подходом к решению задач о рассеянии микрочастицы на одномерных «потенциальных барьерах» и возникающих при этом квантовых эффектах.

2.3.7. Общие черты решений одномерных стационарных задач о рассеянии микрочастицы

Материал, рассматриваемый в данном подпункте, требует знания теории оператора импульса микрочастицы с одной степенью свободы pˆ x (п/п. 3.2.1). В формальном курсе квантовой механики эту теорию следовало бы изложить до описания приложений, но автор из методических соображений принял решение расположить материал так, как он представлен в данном пособии. Задача 3.2.5, посвящённая решению одномерного стационарного уравнения Шрёдингера для состояний рассеяния микрочастицы, разумеется, предлагается студентам после изучения п/п. 3.2.1.

Если потенциальную энергию частицы Φ(x) в поле «возвращающей» силы, которая обеспечивает связанные состояния частицы с источником поля, принято называть «потенциальной

139

ямой» (2.3.30), то потенциал Φ(x), на котором происходит рассеяние частицы, называют «потенциальным барьером».

«Потенциальный барьер», который мы рассмотрим в качестве примера, выглядит следующим образом:

•при x → –∞ Φ(x) = Φ0 ;

•при x → +∞ Φ(x) =Φ1 > Φ0 ;

•при x = 0 потенциал Φ(x) имеет максимум Φ(0) = Φ2 > Φ1.

Таким образом, функция Φ(x) представляет собой «горб»,

опирающийся слева на горизонталь Φ(x) =Φ0 , а справа — на

горизонталь Φ(x) =Φ1.

А. В соответствии с классической механикой движение микрочастицы в поле описанной силы происходит следующим образом.

А1. Пусть частица обладает энергией Φ0 < E <Φ2 и движется из области x → –∞ вдоль оси x слева направо. Пока частица находится достаточно далеко от источника поля, её потенциальная энергия постоянна, действующая на неё сила равна нулю, так что импульс частицы

остаётся постоянным.

По мере приближения к точке x = 0 потенциальная энергия Φ(x) начинает возрастать, а кинетическая энергия частицы — уменьшаться. В точке x =x′(E) , где Φ( x′) = E, кинетическая энергия

140

частицы и её скорость (импульс) обращаются в нуль. Частица меняет направление движения на противоположное, ускоряется, затем выходит из поля действия силы и равномерно со скоростью, соответствующей значению импульса – p′x , возвращается обратно в область x → –∞.

Справа от «барьера» частица оказаться в принципе не может, т.к. при этом ей пришлось бы пройти сквозь область «под барьером», расположенную правее классической точки поворота

слева направо, частица сначала будет двигаться равномерно с импульсом (2.3.39). Затем её скорость начнёт уменьшаться и достигнет минимального, но по–прежнему положительного значения в точке x = 0. После этого скорость частицы снова начнёт возрастать, и когда она выйдет за пределы действия силы, её импульс станет постоянным и равным

В результате частица пройдёт «над барьером» и уйдёт в область x → +∞.

141

Б. Теперь опишем поведение микрочастицы в рассматриваемом поле силы с позиций квантовой механики.

Б1. Стационарное одномерное уравнение Шрёдингера имеет вид (2.3.27). Разумеется, решить его «в общем виде», т.е. найти вид пространственной части u(x) волновой функции стационарного состояния микрочастицы для произвольного «потенциального барьера» Φ(x), форма которого описана в номере А данного подпункта, невозможно. Однако можно проанализировать

асимптотику решений

Б2. При x → –∞ общее решение стационарного уравнения Шрёдингера, идентичного (3.2.9),

имеет вид, одинаковый при всех соотношениях энергии микрочастицы с параметрами потенциального барьера: Φ0 < E <Φ1,

Φ1< E <Φ2 , E >Φ2 .

142

и для определённости выберем k′> 0. Тогда уравнение (2.3.42) приобретёт вид

Общее решение уравнения (2.3.44) представим в комплексном виде:

Волновая функция (2.3.45) представляет собой линейную комбинацию (3.2.21) двух собственных функций оператора импульса (3.2.19)

Первая из них соответствует направлению импульса частицы вдоль оси x, px = +hk′, а вторая — противоположному направлению, px = −hk′.

Таким образом, волновая функция (2.3.46) описывает смесь или

суперпозицию двух состояний микрочастицы при x → –∞. Первое из них соответствует «движению» частицы вдоль оси x, т.е. из области x → –∞, к «барьеру», а второе — напротив, от «барьера» в

область x → –∞.

143

Конкретизируем начальное условие задачи о рассеянии частицы на потенциальном барьере. Пусть таким условием является падение частицы на барьер из области x → –∞, т.е. слева направо. Тогда первое слагаемое волновой функции (2.3.45), (2.3.46) описывает состояние падающей на «барьер» частицы, а второе — состояние частицы, «отражённой» от барьера.

Б3. Теперь рассмотрим асимптотику волновой функции справа от барьера, т.е. при x → ∞.

Если энергия частицы находится в интервале Φ0 < E <Φ1, то стационарное уравнение Шрёдингера имеет вид

Общее решение уравнения (2.3.49) имеет вид

144

Первое слагаемое в (2.3.50) при x → ∞ неограниченно возрастает. Исходя из требования ограниченности волновой функции следует положить B1= 0. В результате получим, что волновая функция частицы справа от «барьера» экспоненциально быстро обращается в нуль:

Соотношение (2.3.51) свидетельствует о том, что имеется конечная вероятность обнаружить частицу в классически недостижимой области «под барьером», расположенную правее классической точки поворота, поскольку при x > x′(E) волновая

функция u(+∞) отлична от нуля. Однако функция (2.3.51) экспоненциально быстро уменьшается по мере удаления от «барьера», и это означает, что вероятность встретить частицу при x → ∞ исчезающе мала, т.е. фактически равна нулю.

Таким образом, при Φ0 < E <Φ1 частица не может пройти сквозь барьер, т.е. уйти в область x → ∞.

Б4. Если энергия частицы E >Φ1, то независимо от того, как E

соотносится с Φ2 , при x → ∞ стационарное уравнение Шрёдингера имеет вид (2.3.47). Обозначим

145

области x → –∞ слева направо, то она может либо отразиться от «барьера», либо, пройдя «барьер», продолжить движение в том же направлении. «Движение» частицы за «барьером» справа налево, описываемое вторым слагаемым (2.3.54), с физической точки зрения невозможно. Чтобы «уничтожить» это слагаемое, следует положить C2 = 0. Тогда

Б5. Полученные результаты свидетельствуют о наличии двух сугубо квантовых эффектов, характерных для процессов рассеяния микрочастиц.

Первый из них называется прохождением микрочастицы сквозь потенциальный «барьер» или туннельным эффектом. Он состоит в следующем. Поскольку в формуле (2.3.55) коэффициент

C1≠ 0, частица с энергией в интервале Φ1< E <Φ2, падающая на

«барьер», с конечной вероятностью может пройти сквозь классически недостижимую область «под барьером», где её кинетическая энергия с классической точки зрения должна была быть отрицательной, а скорость — мнимой, и продолжить движение с противоположной стороны «барьера».

Второй эффект — это «надбарьерное отражение». Поскольку в формуле (2.3.45) коэффициент имеется конечная вероятность, что частица, падающая на «барьер» с энергией E >Φ2,

147

вместо того, чтобы пройти над «барьером», отразится (от чего?!) и вернётся в область, из которой она начала падение.

Оба указанных эффекта не имеют никакого разумного (с классической точки зрения) объяснения.

Б6. Вероятность прохождения частицы через потенциальный «барьер» называется коэффициентом прохождения, а вероятность отразиться от него носит название коэффициента отражения. Выведем формулы для подсчёта этих коэффициентов.

Обе интересующие нас вероятности являются условными. Пусть имеются случайные события a и b. Вероятность того, что

произойдёт событие a, равна w(a). Вероятность того, что произойдёт событие b, равна w(b). Совместная вероятность того, что произойдут события a и b, равна w(a,b). Тогда по определению

w(a,b) = w(a)w(b|a) = w(b)w(a|b).

Величина w(b|a) является вероятностью того, что произойдёт событие b, если (при условии, что) произошло событие a. Наоборот, вероятность того, что произойдёт событие a, если (при условии, что) произошло событие b, равно w(a|b). Как видно,

w(b|a) = w(a,b) / w(a); w(a|b) = w(a,b) / w(b).

Коэффициент отражения (reflection) R есть условная вероятность того, что частица отразилась от барьера, если она на него упала.

148

Для подсчёта этой величины поставим следующий «мысленный

зафиксировать факт прохождения частицы через интервал координат x и направление её движения, т.е. знак импульса. Выполняя множество экспериментов, в которых частица проходит через детектор слева направо, подсчитаем долю случаев, в которых частица возвращается, снова пройдя детектор, но уже справа налево. Эта величина и будет служить «экспериментальной» оценкой коэффициента отражения R.

Теперь вычислим эту величину теоретически, учитывая смысл слагаемых асимптотики волновой функции слева от «барьера» (2.3.45). В соответствии со сделанными определениями и вероятностным смыслом волновой функции вероятность того, что частица прошла через детектор слева направо, равна (точнее, пропорциональна, т.к. плотность вероятности свободной частицы нельзя нормировать на единицу) величине

Точно так же вероятность прохождения частицы через детектор справа налево пропорциональна величине

149

Деля (2.3.57) на (2.3.56), получим искомую условную вероятность:

Коэффициент прохождения или прозрачности (transparency) T есть условная вероятность того, что частица прошла сквозь барьер (над барьером), если она на него упала.

«Установим» для «измерения» этой величины ещё один детектор справа от барьера и рассчитаем соответствующие вероятности теоретически, имея в виду смысл первого слагаемого асимптотики волновой функции (2.3.45) и асимптотики волновой функции справа от «барьера» (2.3.55). Получим:

Можно показать, что

150