3. ОПЕРАТОРЫ ИМПУЛЬСА, КООРДИНАТЫ И ЭНЕРГИИ МИКРОЧАСТИЦЫ

3.1. Как построить оператор динамической переменной

3.1.1. Зачем нужны операторы в квантовой механике

Решив уравнение Шрёдингера и найдя волновую функцию микросистемы, мы получаем возможность подсчитать распределение вероятностей всевозможных конфигураций микросистемы, т.е. её положения в пространстве и, в общем случае, взаимного расположения её составных частей. Это, в свою очередь, позволяет вычислить интересующие нас статистические характеристики координат, определяющих конфигурацию системы: средних значений, среднеквадратичных отклонений и т.п., и любых функций координат.

Однако развитая в гл. 2 теория не предлагает рецептов, как найти такие же статистические характеристики других динамических переменных — например, скорости или импульса, кинетической энергии, момента импульса микрочастицы, — которые, как и координаты, представляют собой случайные величины.

153

Для решения этой задачи в квантовой механике используется специфический математический аппарат — теория операторов.

Вп.п. 2.2 и 2.3 мы уже использовали понятие операторов, действующих на волновые функции микрообъекта. В частности, в п/п. 2.2.5 мы ввели понятие оператора Гамильтона. Это было сделано для того, чтобы формально записывать уравнение Шрёдингера в общем виде, не зависящем от вида микросистемы. Здесь же были даны некоторые общие сведения об операторах как математических объектах.

Вэтой главе мы построим операторы, «представляющие» в квантовой механике такие динамические переменные, как импульс, координата, энергия микрочастицы, а в дальнейшем покажем, как, зная волновую функцию, найти статистические характеристики этих и других динамических переменных микросистем.

3.1.2.Собственные функции и собственные значения операторов

Рассмотрим микросистему, обладающую f степенями свободы.

Множество волновых функций ψ(t, q f ), каждая из которых описывает одно из возможных квантовых состояний данной микросистемы, образует «пространство состояний» этой микросистемы, а функцию ψ(t, q f ) в определённом смысле можно рассматривать как «вектор» в этом «пространстве». В математике подобные множества называются «функциональными пространствами».

154

«волновому» подходу Э. Шрёдингера служит «матричная» формулировка квантовой механики, принадлежащая В. Гайзенбергу

ˆ

Такая функция называется собственной функцией оператора F , а

константа С — собственным значением оператора.

ˆ

Чтобы отличать собственные функции оператора F от «не собственных», вместо (3.1.2) будем использовать следующие обозначения:

ˆ

Собственное значение оператора F обозначим той же буквой F, но без «шляпки», а собственную функцию, «принадлежащую» этому собственному значению, снабдим индексом F.

Соотношение (3.1.3) можно рассматривать как уравнение, определяющее все возможные собственные значения оператора и принадлежащие им собственные функции.

156

А теперь сформулируем правило, в соответствии с которым в квантовой механике строятся операторы, «представляющие» те или иные динамические переменные микросистемы. Рассмотрим динамическую переменную классической системы F(q f , p f ) ,

зависящую в общем случае от координат и импульсов, соответствующих всем степеням свободы системы. В соответствии с квантовой механикой рассматриваемая динамическая переменная микросистемы, находящейся в состоянии ψ(t, q f ), вообще говоря,

представляет собой случайную величину.

Пусть, однако, каждым решением ψF (t, q f ) уравнения (3.1.3),

ˆ

т.е. собственной функцией оператора F , является волновая функция, описывающая такое состояние микросистемы, в котором

физическая величина F имеет определённое (т.е. не случайное) значение, равное собственному значению F этого оператора.

Положим также, что множество решений уравнения (3.1.3) включает все такие волновые функции микросистемы. Оператор, который обладает указанной системой собственных функций и собственных значений, и является в квантовой механике «представителем» рассматриваемой динамической переменной.

С важным примером подобной ситуации мы уже познакомились в п. 2.3. Стационарное уравнение Шрёдингера (2.3.19) есть не что иное, как уравнение на собственные функции и

ˆ

собственные значения (3.1.3) оператора Гамильтона H (2.2.19) – (2.2.21):

157

Собственными значениями этого оператора являются, как мы предположили в п. 2.3, значения сохраняющейся энергии E замкнутой (изолированной) микросистемы, а собственными функциями — пространственные «части» соответствующих волновых функций (2.3.21):

Поскольку оператор Гамильтона «действует» только на пространственные переменные волновой функции, уравнение (3.1.4) с учётом (3.1.5) можно записать в виде (3.1.3):

Решениями уравнения (3.1.6) являются все волновые функции (3.1.5), описывающие стационарные состояния микросистемы, в которых её энергия является определённой (не случайной) величиной.

Наверное, с учётом принятых в (3.1.3), (3.1.6) обозначений

ˆ

было бы правильно назвать H оператором энергии и обозначить

Eˆ , но исторически сложились и стали общепринятыми другие, приведенные выше обозначения и термины.

158