- •ВВЕДЕНИЕ
- •ЛИТЕРАТУРА
- •1. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА — РЕВОЛЮЦИЯ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ
- •1.1. Классическая картина мира
- •1.1.1. Мир материален
- •1.1.2. Две формы существования материи
- •1.1.3. Вещество
- •1.1.4. Поле
- •1.1.5. Сосуществование вещества и поля
- •1.1.6. Экспериментальные факты, противоречащие классической физике
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Классическая механика
- •1.2.1. Уравнения движения
- •1.2.2. Математическая модель
- •1.2.3. Потенциальная энергия
- •1.2.4. Энергия
- •1.2.5. Сохранение энергии
- •1.2.6. Импульс
- •1.2.7. Функция Гамильтона
- •1.2.8. Релятивистская механика
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Классическая теория поля
- •1.3.1. Гравитационное поле
- •1.3.2. Закон всемирного тяготения
- •1.3.3. Потенциальная энергия силы тяготения
- •1.3.4. Сила тяготения
- •1.3.5. Общая теория гравитации
- •1.3.6. Электромагнитное поле
- •1.3.7. Уравнения электромагнитного поля
- •1.3.8. Электрическое поле
- •1.3.9. Напряжённость электрического поля
- •1.3.10. Другие поля
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Основные принципы квантовой физики
- •1.4.1. Краткая история квантовой физики
- •1.4.2. Корпускулярно – волновой дуализм
- •1.4.3. Принцип неопределённостей
- •1.4.4. Вероятностный характер динамических событий
- •1.4.5. Крушение или рождение картины мира?
- •1.4.6. Принцип дополнительности Н. Бора
- •1.4.7. Почему мы не видим квантовых эффектов?
- •Вопросы для самопроверки
- •2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
- •2.1. Волновая функция
- •2.1.1. Волновая функция микрочастицы
- •2.1.2. Вероятностный смысл волновой функции
- •2.1.3. Статистические характеристики случайных величин
- •2.1.4. Статистические характеристики координат микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Вычисление волновой функции
- •2.2.1. Волновое уравнение
- •2.2.2. Волновая функция системы нескольких частиц
- •2.2.3. Волновое уравнение системы нескольких частиц
- •2.2.4. Волновая функция и волновое уравнение частицы с одной степенью свободы
- •2.2.5. Уравнение Шрёдингера в операторном виде
- •2.2.6. Общие требования к решениям уравнения Шрёдингера
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3. Замкнутая микросистема
- •2.3.1. Решение уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •2.3.2. Стационарные состояния
- •2.3.3. Связанные состояния
- •2.3.4. Стационарные связанные состояния
- •2.3.5. Общие черты решений одномерных задач о связанных стационарных состояниях
- •2.3.6. Состояния рассеяния
- •2.3.7. Общие черты решений одномерных стационарных задач о рассеянии микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •3. ОПЕРАТОРЫ ИМПУЛЬСА, КООРДИНАТЫ И ЭНЕРГИИ МИКРОЧАСТИЦЫ
- •3.1. Как построить оператор динамической переменной
- •3.1.1. Зачем нужны операторы в квантовой механике
- •3.1.2. Собственные функции и собственные значения операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •3.2. Оператор импульса
- •3.2.1. Свойства собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.2. Вычисление собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.3. Оператор импульса микрочастицы с одной степенью свободы
- •3.2.4. Операторы проекций импульса микрочастицы и их общие собственные функции
- •3.2.5. Является ли свободная микрочастица «плоской волной»?
- •Вопросы для самопроверки
- •3.3. Оператор координаты
- •3.3.1. Свойства собственной функции оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.2. Дельта – функция Дирака
- •3.3.3. Собственная функция оператора координаты и свойство оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.4. Операторы координат микрочастицы и их общая собственная функция
- •Вопросы для самопроверки
- •3.4. Оператор Гамильтона
- •3.4.1. Принцип соответствия Н. Бора
- •3.4.2. Оператор кинетической энергии микрочастицы
- •3.4.3. Оператор потенциальной энергии микрочастицы
- •3.4.4. Оператор Гамильтона микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •4.1. Пространство волновых функций
- •4.1.1. Функциональное пространство
- •4.1.2. Скалярное произведение функций
- •4.1.3. Амплитуда и вероятность перехода
- •Вопросы для самопроверки
- •4.2. Сопряжённые и самосопряжённые операторы
- •4.2.1. Сопряжённый оператор
- •4.2.2. Самосопряжённый оператор
- •Вопросы для самопроверки
- •4.3. Собственные значения и собственные функции самосопряжённых операторов
- •4.3.1. Собственные значения
- •4.3.2. Собственные функции
- •4.3.3. Полнота системы собственных функций самосопряжённого оператора
- •4.3.4. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Дискретный спектр собственных значений
- •4.3.5. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Непрерывный спектр собственных значений
- •4.3.6. Разложение волновой функции произвольного стационарного состояния микрочастицы по полной ортонормированной системе собственных функций оператора импульса
- •4.3.7. Тригонометрическое представление дельта – функции
- •Вопросы для самопроверки
- •4.4. Распределение вероятностей динамической переменной
- •4.4.1. Вероятность результата измерения динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.2. Среднее значение динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.3. Плотность вероятности результата измерения динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.4. Среднее значение динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.5. Коэффициент разложения как волновая функция в F – представлении
- •Вопросы для самопроверки
- •4.5. Теоремы П. Эренфеста
- •4.5.1. Формулировки, смысл и применение теорем П. Эренфеста
- •4.5.2. Доказательство первой теоремы П. Эренфеста
- •4.5.3. Доказательство второй теоремы П. Эренфеста
- •Вопросы для самопроверки
- •5. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ
- •5.1. Коммутация операторов
- •5.1.1. Основные правила алгебры операторов
- •5.1.2. Коммутатор операторов
- •5.1.3. Коммутаторы операторов координат и проекций импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.2. Свойства произведений операторов
- •5.2.1. Оператор, сопряжённый произведению операторов
- •5.2.2. Самосопряжённые комбинации самосопряжённых операторов
- •5.2.3. Положительно определённые операторы
- •Вопросы для самопроверки
- •5.3. Теорема В. Гайзенберга
- •5.3.1. Неравенство Гайзенберга
- •5.3.2. Следствие неравенства Гайзенберга
- •5.3.3. Соотношение неопределённостей между координатой и проекцией импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.4. Общие собственные функции коммутирующих самосопряжённых операторов
- •5.4.1. Прямая теорема об общих собственных функциях коммутирующих операторов
- •5.4.2. Обратная теорема об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.5. Когда динамические переменные могут, а когда не могут одновременно иметь определённые значения?
- •5.5.1. Что запрещают соотношения неопределённостей
- •5.5.2. Что разрешают теоремы об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.6. Динамическое уравнение Гайзенберга
- •5.6.1. Скорость изменения среднего значения динамической переменной
- •5.6.2. Уравнения Эренфеста как частные случаи уравнений Гайзенберга
- •Вопросы для самопроверки
- •6. МИКРОЧАСТИЦА В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
- •6.1. Момент импульса
- •6.1.1. Центральная сила
- •6.1.2. Момент импульса как классическая динамическая переменная микрочастицы
- •6.1.3. Сохранение момента импульса классической частицы в центральном поле
- •6.1.4. Сохранение энергии классической частицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.2. Оператор момента импульса
- •6.2.1. Коммутационные соотношения между операторами проекций момента импульса
- •6.2.2. Коммутационные соотношения между операторами квадрата и проекций момента импульса
- •6.2.3. Сохранение момента импульса микрочастицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.3. Собственные функции и собственные значения оператора момента импульса
- •6.3.1. Операторы квадрата и проекций момента импульса в декартовых и сферических координатах
- •6.3.2. Собственные значения операторов квадрата и проекции момента импульса
- •6.3.3. Собственные функции операторов квадрата и проекции момента импульса в сферических координатах
- •Вопросы для самопроверки
- •6.4. Стационарные состояния микрочастицы в поле центральной силы
- •6.4.1. Интегралы движения
- •6.4.2. Решение стационарного уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •6.4.3. Радиальное уравнение
- •6.4.4. Характер решений радиального уравнения Шрёдингера
- •6.4.5. Вырождение энергетических уровней
- •Вопросы для самопроверки
- •7. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ МИКРОЧАСТИЦ
- •7.1. Переносное и относительное движение двух частиц
- •7.1.1. Система многих микрочастиц
- •7.1.2. Координаты центра масс и относительного расположения двух частиц
- •7.1.3. Разделение переменных в стационарном уравнении Шрёдингера
- •7.1.4. Центральная сила взаимодействия микрочастиц
- •Вопросы для самопроверки
- •7.2. Двухатомная молекула
- •7.2.1. Эффективная потенциальная энергия межатомного взаимодействия в молекуле
- •7.2.2. Колебательно – вращательные энергетические уровни и радиальные волновые функции молекулы
- •7.2.3. Модель «гармонический осциллятор – жёсткий ротатор» для приближённого описания колебательно – вращательных состояний двухатомной молекулы
- •Вопросы для самопроверки
- •7.3. Атом водорода и водородоподобные ионы
- •7.3.1. Состояния относительного «движения» электрона и ядра
- •7.3.2. Энергетические уровни
- •7.3.3. Волновые функции
- •7.3.4. Сравнение теории с экспериментом
- •Вопросы для самопроверки
2.УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
2.1.Волновая функция
2.1.1.Волновая функция микрочастицы
Возможны несколько подходов к построению квантовой механики. Первый из них, как указывалось в п/п. 1.4.1, предложил В. Гайзенберг, второй — Э. Шрёдингер. Используя различный математический аппарат, оба эти подхода дают в конечном счёте одинаковые результаты. Позднее изящный способ построения квантовой механики, синтезирующий подходы Гайзенберга и Шрёдингера, сформулировал П.А.М. Дирак. Ещё один оригинальный подход был в дальнейшем предложен выдающимся американским физиком Р. Фейнманом.
Подход Гайзенберга (матричная механика) использует слишком абстрактные математические понятия и труден для начинающих. Подход Дирака нам нравится больше других, но его изложение требует от читателя знания аналитической механики и тоже довольно абстрактен. Формулировка Р. Фейнмана базируется на наиболее «наглядной» физической модели, которая, однако, реализуется на основе экзотического и крайне непрозрачного математического понятия «интеграл по траекториям (континуальный интеграл)», незнакомого читателю.
82
Для изложения основ квантовой механики нами выбран подход Шрёдингера, который основан на решении «волнового уравнения», названного именем его создателя. Неизвестной при этом является так называемая волновая функция.
Волновая функция ψ(t,x,y,z) ≡ ψ(t,r), введенная Э. Шрёдингером в 1926 г., обеспечивает настолько полное описание динамического состояния микрочастицы, насколько это позволяют сформулированные в п. 1.4 основные принципы квантовой механики. Аргументами волновой функции являются время и три декартовы координаты. Эти переменные являются независимыми и ни в каком смысле не могут рассматриваться как координаты микрочастицы в данный момент времени.
Волновая функция комплексна:
ψ(t,r) = a(t,r) + ib(t,r) = A(t,r)exp[iδ(t,r)], |
(2.1.1) |
где i — мнимая единица; a(t,r) и b(t,r) — действительная и мнимая части волновой функции; A(t,r) и δ(t,r) — амплитуда и фаза волновой функции, причём
A2 = a2 +b2 ; δ = arctg(b/a). |
(2.1.2) |
Все величины, входящие в эти соотношения, действительны. Напомним, что в соответствии с формулой Эйлера
«комплексная экспонента» следующим образом выражается через тригонометрические функции:
83
exp(iδ) = cos(δ) + isin(δ). |
(2.1.3) |
2.1.2. Вероятностный смысл волновой функции
М. Борн показал, что волновая функция ψ(t,x,y,z) позволяет найти распределение вероятностей значений координат микрочастицы x, y, z. А именно: квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности (см. п/п. 1.4.4) того, что частица в момент времени t обладает координатами x, y, z, т.е. находится в точке пространства r(x,y,z):
|
|
ψ(t, r) |
|
2 ≡ψ *(t, r)ψ(t, r) = P(t, r). |
(2.1.4) |
|
|
В (2.1.4) ψ* — величина, комплексно – сопряжённая ψ (2.1.1):
ψ*(t,r) = a(t,r) – ib(t,r) = A(t,r)exp[–iδ(t,r)], |
(2.1.5) |
а квадрат модуля волновой функции равен квадрату её амплитуды
(2.1.2):
|
|
ψ(t, r) |
|
2 = A2 (t, r). |
(2.1.6) |
|
|
Напомним, что квадрат модуля комплексной экспоненты равен единице:
84
(eiδ )* = e−iδ ; |
|
eiδ |
|
2 = eiδ e−iδ =1. |
(2.1.7) |
|
|
Из (2.1.4) и (1.4.25) следует, что вероятность в момент t
«обнаружить» частицу в некотором объёме Ω равна
w(Ω) = ∫ |
|
ψ(t, r) |
|
2 |
d |
3 |
r . |
(2.1.8) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Ω
В правой части (2.1.8) фигурирует тройной интеграл по области Ω; использовано краткое обозначение
d 3r ≡ dxdydz .
Из (2.1.8) следует условие нормировки плотности вероятности
(2.1.4) [ср. с (1.4.27)]:
∫ |
|
ψ(t, r) |
|
2 |
d |
3 |
r =1. |
(2.1.9) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(∞)
Область интегрирования в (2.1.9) — всё бесконечное пространство. Соотношение (2.1.9) обычно называют условием нормировки
волновой функции.
85
Для того чтобы несобственный интеграл (2.1.9) существовал, т.е. сходился, волновая функция должна либо быстро исчезать при неограниченном возрастании по модулю любой координаты,
limψ(t, r) = 0; α = 1, 2, 3, |
(2.1.10) |
|||
|
xα |
|
→ ∞ |
|
|
|
|
||
либо быть тождественно равной нулю всюду за пределами некоторого объёма, границы которого являются для частицы непроницаемыми.
В (2.1.10) для удобства использованы нумерованные обозначения координат — проекций радиус – вектора r:
x1 ≡ x; x2 ≡ y; x3 ≡ z . |
(2.1.11) |
Хотелось бы предостеречь читателей от соблазна интерпретировать волновую функцию как математическое описание некой волны, распространяющейся в пространстве «вместе» с частицей, подобно солитону (уединённой волне) в гидродинамике, акустике или оптике. Нет никакой такой волны! (См. обсуждение результатов опыта по дифракции частиц в п/п. 1.4.2.) Волновая функция не является наблюдаемой физической величиной (комплексные величины вообще суть математическое измышление, используемое для удобства вычислений, и наблюдаться не могут) и сама по себе не имеет физического смысла.
86