- •ВВЕДЕНИЕ
- •ЛИТЕРАТУРА
- •1. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА — РЕВОЛЮЦИЯ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ
- •1.1. Классическая картина мира
- •1.1.1. Мир материален
- •1.1.2. Две формы существования материи
- •1.1.3. Вещество
- •1.1.4. Поле
- •1.1.5. Сосуществование вещества и поля
- •1.1.6. Экспериментальные факты, противоречащие классической физике
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Классическая механика
- •1.2.1. Уравнения движения
- •1.2.2. Математическая модель
- •1.2.3. Потенциальная энергия
- •1.2.4. Энергия
- •1.2.5. Сохранение энергии
- •1.2.6. Импульс
- •1.2.7. Функция Гамильтона
- •1.2.8. Релятивистская механика
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Классическая теория поля
- •1.3.1. Гравитационное поле
- •1.3.2. Закон всемирного тяготения
- •1.3.3. Потенциальная энергия силы тяготения
- •1.3.4. Сила тяготения
- •1.3.5. Общая теория гравитации
- •1.3.6. Электромагнитное поле
- •1.3.7. Уравнения электромагнитного поля
- •1.3.8. Электрическое поле
- •1.3.9. Напряжённость электрического поля
- •1.3.10. Другие поля
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Основные принципы квантовой физики
- •1.4.1. Краткая история квантовой физики
- •1.4.2. Корпускулярно – волновой дуализм
- •1.4.3. Принцип неопределённостей
- •1.4.4. Вероятностный характер динамических событий
- •1.4.5. Крушение или рождение картины мира?
- •1.4.6. Принцип дополнительности Н. Бора
- •1.4.7. Почему мы не видим квантовых эффектов?
- •Вопросы для самопроверки
- •2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
- •2.1. Волновая функция
- •2.1.1. Волновая функция микрочастицы
- •2.1.2. Вероятностный смысл волновой функции
- •2.1.3. Статистические характеристики случайных величин
- •2.1.4. Статистические характеристики координат микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Вычисление волновой функции
- •2.2.1. Волновое уравнение
- •2.2.2. Волновая функция системы нескольких частиц
- •2.2.3. Волновое уравнение системы нескольких частиц
- •2.2.4. Волновая функция и волновое уравнение частицы с одной степенью свободы
- •2.2.5. Уравнение Шрёдингера в операторном виде
- •2.2.6. Общие требования к решениям уравнения Шрёдингера
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3. Замкнутая микросистема
- •2.3.1. Решение уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •2.3.2. Стационарные состояния
- •2.3.3. Связанные состояния
- •2.3.4. Стационарные связанные состояния
- •2.3.5. Общие черты решений одномерных задач о связанных стационарных состояниях
- •2.3.6. Состояния рассеяния
- •2.3.7. Общие черты решений одномерных стационарных задач о рассеянии микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •3. ОПЕРАТОРЫ ИМПУЛЬСА, КООРДИНАТЫ И ЭНЕРГИИ МИКРОЧАСТИЦЫ
- •3.1. Как построить оператор динамической переменной
- •3.1.1. Зачем нужны операторы в квантовой механике
- •3.1.2. Собственные функции и собственные значения операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •3.2. Оператор импульса
- •3.2.1. Свойства собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.2. Вычисление собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.3. Оператор импульса микрочастицы с одной степенью свободы
- •3.2.4. Операторы проекций импульса микрочастицы и их общие собственные функции
- •3.2.5. Является ли свободная микрочастица «плоской волной»?
- •Вопросы для самопроверки
- •3.3. Оператор координаты
- •3.3.1. Свойства собственной функции оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.2. Дельта – функция Дирака
- •3.3.3. Собственная функция оператора координаты и свойство оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.4. Операторы координат микрочастицы и их общая собственная функция
- •Вопросы для самопроверки
- •3.4. Оператор Гамильтона
- •3.4.1. Принцип соответствия Н. Бора
- •3.4.2. Оператор кинетической энергии микрочастицы
- •3.4.3. Оператор потенциальной энергии микрочастицы
- •3.4.4. Оператор Гамильтона микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •4.1. Пространство волновых функций
- •4.1.1. Функциональное пространство
- •4.1.2. Скалярное произведение функций
- •4.1.3. Амплитуда и вероятность перехода
- •Вопросы для самопроверки
- •4.2. Сопряжённые и самосопряжённые операторы
- •4.2.1. Сопряжённый оператор
- •4.2.2. Самосопряжённый оператор
- •Вопросы для самопроверки
- •4.3. Собственные значения и собственные функции самосопряжённых операторов
- •4.3.1. Собственные значения
- •4.3.2. Собственные функции
- •4.3.3. Полнота системы собственных функций самосопряжённого оператора
- •4.3.4. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Дискретный спектр собственных значений
- •4.3.5. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Непрерывный спектр собственных значений
- •4.3.6. Разложение волновой функции произвольного стационарного состояния микрочастицы по полной ортонормированной системе собственных функций оператора импульса
- •4.3.7. Тригонометрическое представление дельта – функции
- •Вопросы для самопроверки
- •4.4. Распределение вероятностей динамической переменной
- •4.4.1. Вероятность результата измерения динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.2. Среднее значение динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.3. Плотность вероятности результата измерения динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.4. Среднее значение динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.5. Коэффициент разложения как волновая функция в F – представлении
- •Вопросы для самопроверки
- •4.5. Теоремы П. Эренфеста
- •4.5.1. Формулировки, смысл и применение теорем П. Эренфеста
- •4.5.2. Доказательство первой теоремы П. Эренфеста
- •4.5.3. Доказательство второй теоремы П. Эренфеста
- •Вопросы для самопроверки
- •5. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ
- •5.1. Коммутация операторов
- •5.1.1. Основные правила алгебры операторов
- •5.1.2. Коммутатор операторов
- •5.1.3. Коммутаторы операторов координат и проекций импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.2. Свойства произведений операторов
- •5.2.1. Оператор, сопряжённый произведению операторов
- •5.2.2. Самосопряжённые комбинации самосопряжённых операторов
- •5.2.3. Положительно определённые операторы
- •Вопросы для самопроверки
- •5.3. Теорема В. Гайзенберга
- •5.3.1. Неравенство Гайзенберга
- •5.3.2. Следствие неравенства Гайзенберга
- •5.3.3. Соотношение неопределённостей между координатой и проекцией импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.4. Общие собственные функции коммутирующих самосопряжённых операторов
- •5.4.1. Прямая теорема об общих собственных функциях коммутирующих операторов
- •5.4.2. Обратная теорема об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.5. Когда динамические переменные могут, а когда не могут одновременно иметь определённые значения?
- •5.5.1. Что запрещают соотношения неопределённостей
- •5.5.2. Что разрешают теоремы об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.6. Динамическое уравнение Гайзенберга
- •5.6.1. Скорость изменения среднего значения динамической переменной
- •5.6.2. Уравнения Эренфеста как частные случаи уравнений Гайзенберга
- •Вопросы для самопроверки
- •6. МИКРОЧАСТИЦА В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
- •6.1. Момент импульса
- •6.1.1. Центральная сила
- •6.1.2. Момент импульса как классическая динамическая переменная микрочастицы
- •6.1.3. Сохранение момента импульса классической частицы в центральном поле
- •6.1.4. Сохранение энергии классической частицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.2. Оператор момента импульса
- •6.2.1. Коммутационные соотношения между операторами проекций момента импульса
- •6.2.2. Коммутационные соотношения между операторами квадрата и проекций момента импульса
- •6.2.3. Сохранение момента импульса микрочастицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.3. Собственные функции и собственные значения оператора момента импульса
- •6.3.1. Операторы квадрата и проекций момента импульса в декартовых и сферических координатах
- •6.3.2. Собственные значения операторов квадрата и проекции момента импульса
- •6.3.3. Собственные функции операторов квадрата и проекции момента импульса в сферических координатах
- •Вопросы для самопроверки
- •6.4. Стационарные состояния микрочастицы в поле центральной силы
- •6.4.1. Интегралы движения
- •6.4.2. Решение стационарного уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •6.4.3. Радиальное уравнение
- •6.4.4. Характер решений радиального уравнения Шрёдингера
- •6.4.5. Вырождение энергетических уровней
- •Вопросы для самопроверки
- •7. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ МИКРОЧАСТИЦ
- •7.1. Переносное и относительное движение двух частиц
- •7.1.1. Система многих микрочастиц
- •7.1.2. Координаты центра масс и относительного расположения двух частиц
- •7.1.3. Разделение переменных в стационарном уравнении Шрёдингера
- •7.1.4. Центральная сила взаимодействия микрочастиц
- •Вопросы для самопроверки
- •7.2. Двухатомная молекула
- •7.2.1. Эффективная потенциальная энергия межатомного взаимодействия в молекуле
- •7.2.2. Колебательно – вращательные энергетические уровни и радиальные волновые функции молекулы
- •7.2.3. Модель «гармонический осциллятор – жёсткий ротатор» для приближённого описания колебательно – вращательных состояний двухатомной молекулы
- •Вопросы для самопроверки
- •7.3. Атом водорода и водородоподобные ионы
- •7.3.1. Состояния относительного «движения» электрона и ядра
- •7.3.2. Энергетические уровни
- •7.3.3. Волновые функции
- •7.3.4. Сравнение теории с экспериментом
- •Вопросы для самопроверки
вращательным квантовым числом значений, соответствующих состояниям предельной устойчивости молекулы в классическом и квантовом случаях?
7.2.3.Изобразите качественно относительное расположение колебательных уровней энергии молекулы в фиксированном вращательном состоянии и опишите характер колебательно – вращательного энергетического спектра двухатомной молекулы.
7.2.4.Изобразите качественно первые две – три радиальные волновые функции для фиксированного вращательного состояния молекулы.
7.2.5.При каком условии для описания колебательно – вращательного спектра молекулы можно воспользоваться моделью
«гармонический осциллятор – жёсткий ротатор»?
7.2.6.Как по порядку величины отличаются кванты колебательной и вращательной энергии двухатомной молекулы?
7.3.Атом водорода и водородоподобные ионы
7.3.1.Состояния относительного «движения» электрона и ядра
Атом водорода состоит из двух частиц: ядра — протона массой mp и зарядом qp = +e и электрона массой me и зарядом qe = −e . Здесь
386
e = 1,60217733(49) 10–19 Кл = 4,80324 10–10 СГСЕ; me = 9,1093897(54) 10–31 г.
Масса электрона очень мала по сравнению с массой протона:
mp /me = 1836,152.
Уводорода (протия) имеются два изотопа: стабильный дейтерий, ядро которого, помимо протона, содержит нейтрон и примерно вдвое тяжелее протона, и радиоактивный тритий, ядро которого состоит из протона и двух нейтронов.
Ядра (nucleas) |
других |
химических |
элементов |
содержат |
Z > 1протонов и |
некоторое |
количество |
нейтронов |
(равное, |
несколько большее или меньшее Z). Масса ядра — mn , заряд — qn = +Ze . У ядра водорода и его изотопов Z = 1. В состав водородоподобного иона входит ядро с Z > 1 и один электрон. Наиболее лёгкими водородоподобными ионами являются однократно заряженный ион гелия He+ (Z = 2) и двукратно заряженный ион лития Li++ (Z = 3).
Взаимодействие электрона с ядром, как и любых точечных заряженных частиц, описывается законом Кулона (6.1.3). Потенциальная энергия взаимодействия обратно пропорциональна расстоянию r между электроном и ядром и пропорциональна произведению их зарядов:
387
|
Ze2 |
|
|
|
|
− |
|
|
+Φ0 (CGSE) |
|
|
r |
|
|
|||
|
|
|
|
(7.3.1) |
|
Φ(r) = |
Ze |
2 |
|
||
|
|
|
|||
− |
|
|
|
+Φ0 (CI) |
|
4πε |
0r |
|
|||
|
|
|
|||
В (7.3.1) Φ0 — произвольная постоянная, равная суммарной энергии неподвижных электрона и ядра, которые удалёны друг от друга на бесконечное расстояние. В дальнейшем будем пользоваться системой единиц CGSE.
Как понятно из сказанного выше, атом водорода или водородоподобный ион представляют собой систему двух микрочастиц, взаимодействующих центральной силой и находящихся в связанном состоянии друг с другом. Задача о вычислении волновых функций (6.4.19)
u |
|
,v |
(r,ϑ,ϕ) = |
χl,v (r) |
Y |
|
(ϑ,ϕ) . |
(7.3.2) |
|
|
|
||||||
l,m |
|
r |
l,m |
|
|
|||
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
описывающих стационарные состояния относительного «движения» двух рассматриваемых частиц, и соответствующих уровней энергии, решается так же, как и для любых двух частиц, взаимодействующих центральной силой (см. п/пп. 6.4.3, 6.4.4).
Специфической частью данной задачи является решение радиального уравнения Шрёдингера для кулоновского потенциала взаимодействия частиц (6.4.15), (7.1.28):
388
− |
h2 |
|
d 2χ |
+Φeff (r,l)χ = Eχ . |
(7.3.3) |
2m12 |
|
dr 2 |
|||
|
|
|
|
В (7.3.3)
m |
= |
memn |
|
= |
|
me |
|
(7.3.4) |
|
|
|
|
|
||||||
m + m |
|
||||||||
12 |
|
|
1 |
|
me |
|
|
||
|
|
e |
n |
+ m |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n
приведенная масса электрона и ядра. Поскольку масса электрона очень мала по сравнению с массой ядра, приведенная масса (7.3.4) практически не отличается от массы электрона. Так, me / mp = 5,44617013(11) 10–4, и приведенная масса атома водорода меньше массы электрона всего на 0.05%.
В соответствии с (6.4.16) и (7.3.1) эффективная потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, определяющая вид решений уравнения (7.3.3), зависит от расстояния r между ними следующим образом:
Φeff (r,l) = − |
Ze2 |
+ |
h |
2l(l +1) |
+Φ0 . |
(7.3.5) |
|
r |
2m12r 2 |
||||||
|
|
|
|
||||
На больших расстояниях электрона от ядра в функции (7.3.5) преобладает медленнее убывающее с ростом r отрицательное «кулоновское» слагаемое, а на малых (при l ≠ 0) — быстрее
389
возрастающая с уменьшением r положительная центробежная энергия. Поэтому функция (7.3.5) имеет вид потенциальной «ямы». При E < Φ0 в этой «яме» располагаются уровни энергии El,v ,
которые отвечают связанным состояниям электрона и ядра (7.3.2). При E ≥ Φ0 реализуются состояния рассеяния электрона на ядре.
В последующих формулах будут использованы две размерные комбинации, составленные из параметров задачи: характерная длина
r* = |
h2 |
(7.3.6) |
|
m e2 |
|||
|
|
||
12 |
|
||
и характерная энергия
|
m |
e4 |
|
e2 |
|
|
|
E* = |
12 |
|
= |
|
. |
(7.3.7) |
|
h2 |
r * |
||||||
|
|
|
|
||||
Величины (7.3.6) и (7.3.7) «появляются» в процессе приведения уравнения (7.3.3), (7.3.5) к безразмерному виду и служат естественными масштабами для расстояния электрона от ядра r и энергии E.
Если в формулах (7.3.6) и (7.3.7) заменить приведенную массу электрона и ядра (7.3.4) близкой к этой величине массой электрона, получим две универсальные постоянные, которые часто используются в атомной физике как внесистемные единицы измерения расстояний (длин) и энергий. Это — боровский радиус
390
a0 = |
h2 |
(7.3.8) |
m e2 |
||
|
e |
|
и постоянная Хартри
|
m e4 |
|
e2 |
|
|
Ha = |
e |
= |
. |
(7.3.9) |
|
h2 |
|||||
|
|
a0 |
|
Часто вместо постоянной Хартри (7.3.9) с той же целью пользуются
константой Ридберга
Ry = Ha/2. |
(7.3.10) |
Приведём для справок численные значения приведенных универсальных постоянных:
a0 = 0,0529177249(24) Нм;
Ha = 4,3597482(26) 10–18 Дж = 27,2113962(80) эВ; Ry = 13,6056981(40) эВ.
С учётом (7.3.4) масштабные величины (7.3.6), (7.3.7) можно выразить через универсальные постоянные (7.3.8) – (7.3.10):
391