ˆ |
ˆ + |
| ϕ >= |
|
||
= c* <ϕ | F |ψ > * = c* <ψ | F |
|
|
|||
ˆ + |
ˆ |
+ |
|
ˆ + |
| ϕ >. |
= c * ∫ψ * F |
ϕdq = ∫ψ *(c * F |
|
)ϕdq =<ψ | A |
||
Доказательство основывается на применении определения (4.2.5).
Следствие теоремы 4.2.2: если |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
и c2 |
— |
A = c1F + c2G , где c1 |
|||||
комплексные числа, то
ˆ + |
ˆ + |
ˆ + |
. |
A |
= c1 * F |
+ c2 *G |
Доказательство читателю предлагается проделать самостоятельно. Для этого предварительно докажите, что
(ξˆ +ηˆ)+ = ξˆ+ +ηˆ+
[это элементарно следует из (4.2.5)], а затем используйте теорему
4.2.2.
4.2.2. Самосопряжённый оператор
Самосопряжённым называется оператор, совпадающий со своим сопряжённым:
ˆ ˆ |
+ |
. |
(4.2.9) |
F = F |
|
221
Равенство (4.2.9) означает, что для любых функций ϕ(x) и ψ(x)
равны операторные скобки
ˆ |
ˆ |
(4.2.10) |
<ϕ | F |ψ >=<ψ | F | ϕ >* |
||
или матричные элементы
Fϕψ =(Fψϕ )*. |
(4.2.11) |
ˆ
Теорема 4.2.3: если F — самосопряжённый оператор, а c —
ˆ = ˆ
действительное число, то A cF — самосопряжённый оператор.
Доказательство. В самом деле: в теореме 4.2.2 [см. (4.2.8)]
доказано, что
ˆ + |
|
ˆ + |
. |
|
|
|
|
A |
= c * F |
|
|
|
|
||
ˆ |
ˆ + |
, а c = c *. Поэтому |
|
||||
Но по условию данной теоремы F = F |
|
||||||
ˆ + |
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
(4.2.12) |
A |
= cF |
= A. |
|
|
|
||
Следствие из теоремы 4.2.3: если |
ˆ |
и |
ˆ |
|
|
|
|
F |
G — самосопряжённые |
||||||
операторы, а c1 и c2 — действительные числа, то |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
||||
A = c1F |
+ c2G — |
||||||
самосопряжённый оператор.
222
Доказательство читателю предлагается проделать самостоятельно.
Продолжим аналогии рассматриваемых операторных скобок (4.2.10) или матричных элементов самосопряжённых операторов (4.2.11) с матрицами, которые изучаются в обычной линейной алгебре.
Втеории матриц с вещественными (действительными)
матричными элементами матрица, |
совпадающая |
со своей |
|
транспонированной |
матрицей, |
~ |
называется |
Aαβ = Aαβ , |
|||
симметричной. Приведенное соотношение похоже на (4.2.11). Если матричные элементы — комплексные числа, то
самосопряжённой матрицей называется матрица, совпадающая со своей транспонированной матрицей, у которой элементы заменены
комплексно – сопряжёнными: |
~ |
Это |
Aαβ = (Aβα )* = (Aαβ ) *. |
||
соотношение полностью аналогично (4.2.11). |
|
|
Теорема 4.2.4: если оператор |
ˆ |
|
F — самосопряжённый, то для |
||
|
ˆ |
— |
любой функции ψ(x) операторная скобка <ψ | F |ψ > |
||
действительное число.
Доказательство: в самом деле, полагая в определении (4.2.10), (4.2.11) ϕ =ψ , получим
ˆ |
ˆ |
(4.2.13) |
<ψ | F |ψ >=<ψ | F |ψ >*. |
||
223
Иными словами, диагональные матричные элементы (4.2.11) самосопряжённого оператора являются действительными:
Fψψ =(Fψψ )*. |
(4.2.14) |
В качестве примера докажем следующее соотношение.
Теорема 4.2.5: оператор i ∂∂x является самосопряжённым.
Доказательство. Найдём оператор, сопряжённый заданному в условии теоремы, воспользовавшись результатом теоремы 4.2.2. Из соотношения (4.2.8) имеем:
|
∂ + |
|
∂ + |
|
∂ |
+ |
|||
i |
|
|
= i * |
|
|
= −i |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
∂x |
|
∂x |
|
∂x |
|
|||
Оператор, сопряжённый оператору дифференцирования, перепишем в соответствии с теоремой 4.2.1 (4.2.7). В результате имеем
i |
∂ |
+ |
= i |
∂ |
. |
(4.2.15) |
|
|
|||||
|
∂x |
|
∂x |
|
||
Но согласно определению (4.2.9) равенство и означает, что заданный в условии теоремы оператор — самосопряжённый.
224