функция имеет конечную норму. А это обеспечивается используемым при выводе соотношений (4.4.7), (4.4.14) условием нормировки волновой функции (4.4.3).
Но отсюда ясно, что теоремы Эренфеста справедливы только для таких состояний микросистемы, когда описывающие их волновые функции удовлетворяют условию (4.4.3) и, следовательно, достаточно быстро убывают при удалении микрочастицы от источника поля. А это означает, что применимость обсуждаемых теорем ограничивается связанными состояниями (но, конечно, не обязательно стационарными) микрочастицы с источником поля.
4.5.2. Доказательство первой теоремы П. Эренфеста
Докажем равенство (4.5.1).
В соответствии с формулой для вычисления средних значений (4.4.7) запишем, используя свойство оператора координаты (3.3.1):
|
∞ |
∞ |
|
|
|
x(t) = |
∫ |
ˆ |
∫ |
xψ * (x)ψ(x)dx . |
(4.5.3) |
|
ψ * (x)xψ(x)dx = |
|
|||
|
−∞ |
−∞ |
|
||
Продифференцируем выражение (4.5.3) по времени:
dx |
|
∞ |
|
∂ψ |
* |
∞ |
∂ψ |
|
|
|
|
= |
∫ |
x |
|
ψdx + ∫ x |
|
ψ *dx . |
(4.5.4) |
||
dt |
∂t |
∂t |
||||||||
|
−∞ |
|
|
−∞ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
265
Хорошо видно, что два слагаемых в правой части выражения (4.5.4)
— комплексно сопряжённые величины. Обозначив одно из них
∞ |
|
∂ψψ * dx , |
|
P ≡ ∫ |
x |
(4.5.5) |
|
−∞ |
|
∂t |
|
|
|
|
запишем:
dx |
= P + P *. |
(4.5.6) |
|
dt |
|||
|
|
Производную по времени от волновой функции в подынтегральном выражении для P (4.5.5) вычислим, используя уравнение Шрёдингера:
∂ψ |
|
1 |
|
h2 ∂2ψ |
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
+Φ(t, x)ψ . |
(4.5.7) |
∂t |
|
2m ∂x2 |
|||||
|
ih |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим:
P ≡ Q + R , |
(4.5.8) |
где
266
|
1 |
∞ |
|
|
|
|
||
Q ≡ |
∫Φψ *ψdx ; |
(4.5.9) |
||||||
ih |
||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
h |
∞ |
|
∂2ψ2 dx. |
|
|
R ≡ − |
|
∫ |
xψ * |
(4.5.10) |
||||
i2m |
||||||||
|
|
−∞ |
|
∂x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Из (4.5.6), учитывая (4.5.8), получим
dx |
= Q +Q * +R + R *. |
(4.5.11) |
|
dt |
|||
|
|
Из (4.5.9) очевидно, что Q* = −Q , так что Q +Q* = 0.
Следовательно, из (4.5.11) получим:
dx |
= R + R *. |
(4.5.12) |
|
dt |
|||
|
|
Величину R (4.5.10) преобразуем, вычислив соответствующий интеграл по частям:
|
h |
|
∂ψ |
|
∞ |
|
∞ |
|
∂ψ ∂ψ |
* |
∞ |
|
∂ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
R = − |
|
xψ * |
∂x |
|
−∞ |
− |
∫ |
x |
∂x |
∂x |
|
dx − ∫ |
ψ * |
∂x |
dx . (4.5.13) |
|
|
|
|||||||||||||
|
i2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Первое слагаемое в квадратных скобках правой части (4.5.13) равно нулю, т.к. волновая функция быстро обращается в нуль при x → ∞,
267
а производная от неё ограничена. Оставшиеся слагаемые в (4.5.13) обозначим
|
h |
|
∞ |
ψ * ∂ψdx ; |
|
||
S ≡ |
|
∫ |
(4.5.14) |
||||
i2m |
|||||||
|
|
−∞ |
∂x |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
h |
|
∞ |
|
∂ψ ∂ψ * dx , |
|
|
T ≡ |
|
∫ |
x |
(4.5.15) |
|||
i2m |
|
||||||
|
|
−∞ |
∂x ∂x |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
так что
R ≡ S +T .
Таким образом, в соответствии с (4.5.12) получим:
ddxt = S + S * +T +T *.
Из (4.5.15) ясно, что T* = −T , так что в (4.5.17) T +
Вычислим S (4.5.14) по частям:
|
h |
|
|
∞ |
∞ |
∂ψ |
|
|
|
||||||
S = |
ψ *ψ |
|
− ∫ ψ |
* dx . |
|||
|
|
−∞ |
∂x |
||||
|
i2m |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
(4.5.16)
(4.5.17)
T* = 0.
(4.5.18)
Первое слагаемое в правой части (4.5.18) равно нулю. Второе же слагаемое, как видно из исходного выражения для S (4.5.14), равно
268
S *. Отсюда следует, что S — действительная величина, и тогда из
(4.5.17) получим:
dx |
|
h |
∞ |
∂ψ |
|
1 |
∞ |
|
h ∂ |
||||
|
= 2S = |
|
∫ ψ * |
|
dx = |
|
∫ |
ψ * |
|
|
|
ψdx . (4.5.19) |
|
dt |
im |
∂x |
m |
|
|
||||||||
|
−∞ |
|
−∞ |
i |
|
∂x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Но поскольку дифференциальный оператор, который заключён в скобки в подынтегральном выражении (4.5.19), есть оператор импульса (3.2.27),
p |
= −ih |
∂ |
= |
h |
|
∂ |
, |
(4.5.20) |
|
|
|
||||||
ˆ x |
|
∂x |
|
i ∂x |
|
|||
|
|
|
|
|||||
то соотношению (4.5.19) можно придать вид
dx |
|
1 |
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
= |
ψ * p ψdx ≡ |
<ψ | p |
|ψ >. |
(4.5.21) |
|||||
|
|
|
|||||||
dt |
|
m ∫ |
ˆ x |
m |
ˆ x |
|
|
||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
Операторная скобка в правой части равенства (4.5.21) и есть среднее значение импульса микрочастицы: с учётом (4.5.20)
|
|
|
|
∞ |
|
|
h |
|
∂ |
ψdx. |
|
|
|
|
=<ψ | p |
|ψ > = |
∫ |
ψ * |
|
(4.5.22) |
|||||
p |
x |
|||||||||||
|
|
|||||||||||
|
ˆ x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
i |
∂x |
|
|||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, первая теорема Эренфеста доказана.
269