Используя вместо (2.3.14) равенство (2.3.13), получим эквивалентное (2.3.19) уравнение
ˆ |
f |
) u= Eu. |
(2.3.20) |
K u +Φ(q |
|
Линейное однородное дифференциальное уравнение (2.3.19), (2.3.20), разумеется, нельзя решить «в общем виде»: вид этого уравнения и характер его решений при прочих равных условиях целиком зависят от того, какова входящая в него функция Φ(q f ) .
Единственным очевидным решением однородного уравнения
(2.3.19), (2.3.20) является тривиальное решение, u ≡ 0, но по уже обсуждавшимся выше причинам [см. п/п. 2.3.1, (2.3.1) и (2.3.2)] оно нас не устраивает.
Заметим в заключение, что если бы условие (2.3.8) не было выполнено, то и методом разделения переменных для решения уравнения Шрёдингера воспользоваться бы не удалось: см. замечание после соотношения (2.3.7).
2.3.2. Стационарные состояния
Итак, мы доказали, что волновая функция замкнутой микросистемы имеет вид (2.3.3)
ψ(t, q f ) = Θ(t)u(q f ),
118
причём временной множитель определяется формулой (2.3.18), а пространственная часть — решением дифференциального уравнения (2.3.19), (2.3.20).
Дифференциальное уравнение (2.3.19), (2.3.20), определяющее пространственную часть волновой функции u(q f ) микросистемы,
находящейся в стационарном состоянии, часто называют
стационарным уравнением Шрёдингера.
Заметим, что, в отличие от «полного» уравнения Шрёдингера, стационарное уравнение Шрёдингера (2.3.19), (2.3.20) не содержит мнимой единицы. Поэтому его решения в зависимости от удобства можно представлять как в комплексной, так и в действительной форме.
Поскольку это уравнение однородно, то, если функция u(q f )
— его решение, то и функция Au(q f ), где A — произвольная постоянная, тоже является его решением (если, разумеется, не заданы граничные условия, определяющие решение рассматриваемого однородного уравнения однозначно). В самом деле: если
ˆ
H u = Eu,
то
ˆ ˆ
H (Au) = A H u = AEu = E(Au).
119
Поэтому переместим произвольный постоянный множитель A
из (2.3.18) в функцию u(q f ) и запишем решение уравнения Шрёдингера для замкнутой системы (2.3.3), полученное методом разделения временной и пространственных переменных:
ψ(t, q f ) = exp |
− |
i |
Et u(q f ). |
(2.3.21) |
|
||||
|
|
h |
|
|
Чтобы подсчитать плотность вероятности P(t,q f )
конфигурации системы q f , вычислим квадрат модуля выражения
(2.3.21). Поскольку, однако, квадрат модуля комплексной экспоненты (2.1.3) равен единице (2.1.7), то из (2.3.21) получим:
|
|
ψ(t, q f ) |
|
2 = |
|
u(q f ) |
|
2 . |
(2.3.22) |
|
|
|
|
Из (2.3.22) следует, что распределение вероятностей конфигураций замкнутой системы не меняется с течением времени:
P(q f ) = |
|
u(q f ) |
|
2 ; |
∂P |
= 0. |
(2.3.23) |
|
|
||||||
|
|
∂t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Но (2.3.23) означает, что в рассматриваемой системе «наблюдаемые» величины, т.е. средние значения координат qi и
120
любых функций координат f (q1,..., q f ), с течением времени также
не изменяются, т.е. остаются постоянными. Следовательно, какие– либо «видимые» изменения параметров системы не происходят. Не изменяется, конечно, и энергия системы — ведь система замкнута!
Принято говорить, что микросистема, ведущая себя описанным образом, находится в стационарном состоянии. Впервые гипотезу о стационарных состояниях микросистем (атомов) предложил Н. Бор (см. п/п. 1.4.1), чтобы объяснить, почему электрон, движущийся с угловым ускорением вокруг атомного ядра, вопреки классической физике не излучает электромагнитное поле и не «теряет» энергию (см. п/п. 1.1.6, №7). Квантовомеханическое объяснение, вытекающее из независимости от времени энергии и распределения вероятностей конфигураций замкнутой микросистемы (2.3.23), состоит в том, что в такой системе, собственно говоря, и нет никакого движения. Это, конечно, непостижимо с точки зрения классической физики, но полностью соответствует наблюдаемым фактам.
2.3.3. Связанные состояния
Рассмотрим классическую материальную точку, движущуюся во внешнем силовом поле, центр (источник) которого неподвижен. Пусть сила притягивает материальную точку к источнику поля. Тогда при подходящих начальных условиях такая «возвращающая» сила не позволит частице удалиться на слишком большое расстояние. В результате частица будет двигаться вокруг источника
121
поля по траектории — не обязательно замкнутой, но не выходящей за границы некоторой конечной области пространства. Такое движение в классической механике называется финитным, т.е. конечным [finita (лат.) — конец], или, точнее, ограниченным. Если траектория финитного движения к тому же замкнута, её называют
орбитой частицы.
Пусть, далее, механическая система состоит из нескольких подсистем (например, материальных точек), и силы взаимодействия между ними стремятся не позволить подсистемам удалиться на слишком большое расстояние друг от друга (для этого подсистемы должны притягиваться либо друг к другу, либо к одной из подсистем, играющей роль центра сил). Тогда при подходящих начальных условиях относительное движение подсистем тоже окажется финитным. При этом система, оставаясь единым целым и обладая конечными размерами, может сама как целое двигаться в пространстве, также, возможно, совершая финитное движение.
Примеры финитного движения хорошо известны. Прежде всего в голову приходят примеры из области астрономии и космологии. Планеты в пределах планетной системы, притягиваясь по закону всемирного тяготения, совершают финитное движение вокруг центральной звезды, причём движутся по замкнутым (в системе координат, где центр покоится) орбитам. Планетная система как целое совершает финитное (тоже орбитальное) относительное движение вокруг центра своей галактики — и т.д.
Заметим, однако, что есть и менее экзотические примеры. Любой предмет, сохраняющий собственную форму, представляет
122
собой систему, подсистемы которого (атомы, молекулы, отдельные макроскопические части, скреплённые друг с другом) совершают финитное относительное движение. Это и земной шар, и катящийся по нему автомобиль, и мы сами, наблюдающие всё это и обсуждающие друг с другом свои мысли и впечатления.
Когда речь идёт о микросистемах (отдельных микрочастицах, атомах и т.п.), то пользоваться классическим термином «финитное движение» некорректно. В самом деле: например, никакого наблюдаемого относительного движения электронов и ядра в атоме нет — а то, что не наблюдается, не может служить предметом научного обсуждения.
Мы знаем, тем не менее, что микрочастицы, из которых состоит атом, находятся где–то в пределах занимаемого атомом объёма и никуда не «разбегаются». Мы понимаем также, что их удерживают от «разбегания» силы электростатического притяжения отрицательно заряженных электронов к положительно заряженному ядру (несмотря на то, что электроны отталкиваются друг от друга как одноимённо заряженные частицы).
Такое состояние микросистемы, когда составляющие её подсистемы (микрочастицы в атоме, атомы в молекуле, атомы и молекулы в кристалле) благодаря силам взаимодействия образуют единое целое, занимающее конечную по размерам область пространства, называется в квантовой механике связанным.
Очевидно, плотность вероятности конфигурации микросистемы, находящейся в связанном состоянии, должна либо быть равной нулю за границами этой области пространства, либо
123
быстро исчезать по мере того, как координаты подсистем (микрочастиц) выходят за её пределы. Так же, разумеется, должна вести себя и волновая функция, описывающая связанное состояние микросистемы.
Рассмотрим, например, для простоты микрочастицу, находящуюся в связанном состоянии с неподвижным источником поля силы. Зададим волновую функцию этой микрочастицы в декартовой системе координат, началом которого является источник поля. Тогда, очевидно,
limψ(t, r) = 0; |
1 ≤ α ≤ 3, |
(2.3.24) |
|||
|
xα |
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
||
[см. (2.1.10)], откуда с учётом (2.1.4) |
|
|
|||
lim P(t, r) = 0 ; |
1 ≤ α ≤ 3. |
(2.3.25) |
|||
|
xα |
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
||
Соотношения (2.3.24), (2.3.25), как указывалось в п/п. 2.1.2, являются необходимым условием существования нормировочного интеграла волновой функции микрочастицы (2.1.9). Достаточность при этом обеспечивается высокой скоростью достижения рассматриваемого предела. Поэтому нормировочный интеграл (2.1.9) существует только для связанных состояний микрочастицы. Если же состояние несвязанное, то условия (2.3.24), (2.3.25) не выполняются, нормировочный интеграл расходится, и волновую
124