2.2.2. Волновая функция системы нескольких частиц
Если микросистема состоит из N микрочастиц, то её состояния описывается волновой функцией ψ(t, r1, r2,..., rN ), зависящей от времени и 3N пространственных координат ri (xi , yi , zi ) ; 1 ≤ i ≤ N.
Квадрат модуля этой волновой функции, аналогично случаю одной частицы (2.1.4), равен плотности вероятности того, что координаты рассматриваемых N частиц равны соответственно r1, r2,..., rN :
P(t, r , r ,..., r |
) = |
|
ψ(t, r , r |
,..., r ) |
|
2 . |
(2.2.4) |
|
|
|
|||||||
1 2 |
N |
|
|
1 2 |
N |
|
|
|
Если микрочастицы, входящие в микросистему, различны, то их можно перенумеровать, т.е. присвоить каждой из них свой номер (или, если угодно, индивидуальное имя). Однако было бы ошибкой полагать, что нумерованными аргументами волновой функции или плотности вероятностей системы частиц (2.2.4) являются координаты частиц. К сожалению, такое утверждение (которое, надо полагать, является следствием не ошибки, а небрежности авторов) можно часто встретить в литературе по квантовой механике.
На самом деле координаты микрочастицы являются случайными величинами, и их значения никогда не фигурируют сами по себе в соотношениях квантовой механики. Для одной микрочастицы на это уже обращалось внимание в п. 2.1.1 — см.
96
замечание перед формулой (2.1.1). В этом случае аргументами волновой функции являются пространственные координаты, как у любой другой полевой функции — например, проекции вектора напряжённости электрического поля Ex (t,x,y,z) ≡ Ex (t,r) или температуры в термически неоднородной системе T(t,x,y,z). Никому же не придёт в голову, что аргументом функции, описывающей температурное поле, является координата температуры! А пространственных аргументов такой функции три, потому что пространство, в котором она задана, трёхмерно.
Волновая функция и плотность вероятности системы N частиц (2.2.4) заданы не в трёхмерном, а в 3N – мерном пространстве. Поэтому аргументами рассматриваемых функций являются 3N
координат этого пространства ri (xi , yi , zi ) ; 1 ≤ i ≤ N, а вовсе не частиц.
3N – мерная функция P(t, r1, r2,..., rN ), в частности, есть плотность вероятности того, что данная система частиц в момент t находится в точке {r1, r2,..., rN } 3N – мерного пространства — или,
что то же самое, что координаты рассматриваемых N частиц равны соответственно r1, r2,..., rN . Это и написано в тексте перед формулой (2.2.4).
Теперь рассмотрим случай, когда частицы, к которым относится формула (2.2.4), одинаковы. Заметим, что классические объекты, даже если они одинаковы, всегда различимы и могут быть перенумерованы. Известный всем пример — биллиардные шары.
97
Одинаковые квантовые объекты, по крайней мере в пределах одной микросистемы, напротив, принципиально неразличимы (тождественны), т.е. не имеют никаких индивидуальных признаков, и их невозможно перенумеровать. Например, электроны, входящие в состав многоэлектронного атома, могут, говоря классическим языком, находиться на разных «орбитах» (или, выражаясь более современно, принадлежать разным электронным оболочкам, занимать разные электронные состояния). Однако описание такой системы не может содержать информацию о том, какой именно из электронов находится в том или ином состоянии. Такая информация принципиально недоступна, и попытка игнорировать это обстоятельство приведёт к неадекватному описанию поведения системы тождественных частиц.
Поэтому тем более нельзя относить пространственные аргументы функций (2.2.4) к тождественным частицам, из которых состоит микросистема.
Читатели, интересующиеся квантовой механикой, могли «слышать», что волновая функция системы тождественных частиц должна обладать определённой симметрией по отношению к «перестановкам» этих частиц. Но это утверждение не имеет никакого отношения к поведению волновой функции (2.2.4) по отношению к перестановкам её аргументов. Функции
ψ(t, r1, r2,..., rN ) и ψ(t, r2, r1,..., rN ) являются просто разными, как,
например, z(1) (x, y) = x y и z(2) (x, y) = y x .
98
Квантовая теория систем тождественных частиц, разработанная В. Паули, Э. Ферми, П.А.М. Дираком и др., обязательно использует понятие спина, т.е. четвёртой степени свободы микрочастиц, не имеющей никакого аналога в классической физике. То, что было сказано выше о перестановочной симметрии волновой функции системы тождественных частиц, относится к так называемой «полной» волновой функции, зависящей, помимо пространственных координат, ещё и от спиновых переменных. Такая волновая функция симметрична (статистика Бозе – Эйнштейна) или антисимметрична (статистика Ферми – Дирака) относительно перестановки аргументов, каждый из которых включает три пространственные координаты и одну спиновую. Более подробно этот вопрос в данном курсе не изучается.
2.2.3. Волновое уравнение системы нескольких частиц
Уравнение Шрёдингера для системы N частиц имеет вид, который является очевидным обобщением формулы (2.2.1):
2 |
N |
|
||||
ih |
∂ψ |
= − |
h |
∑ |
1 |
iψ + Φ(t, r1, r2,..., rN )ψ. (2.2.5) |
∂t |
2 |
m |
||||
|
|
|
|
i=1 i |
|
|
В уравнении (2.2.5), аналогично (2.2.2),
99
i = |
∂2 |
+ |
∂2 |
+ |
∂2 |
(2.2.6) |
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
||||
|
i |
|
i |
|
i |
|
Потенциальная энергия системы частиц, фигурирующая в (2.2.5), в общем случае складывается из потенциальной энергии отдельных частиц в поле внешних сил, которая зависит от их положений в пространстве по отношению к источнику поля,
N |
|
Φ(e) (t, r1, r2,..., rN ) = ∑Φi(e) (t, ri ) |
(2.2.7) |
i=1
(e — external, внешний), и потенциальной энергии сил взаимодействия частиц друг с другом, которая определяется их взаимным расположением:
Φ(i) (t, r1, r2,..., rN ) = Φ(i) (t, r12, r13,..., rN −1,N )
(i — internal, внутренний), где
rij = rij ≡ rj −ri
— расстояние между i – й и j – й частицами. Таким образом,
Φ(t, r1, r2,..., rN ) = Φ(e) +Φ(i) .
(2.2.8)
(2.2.9)
(2.2.10)
100