ˆ ψ

оператор F , воздействуя на свою собственную функцию Fn (t, q),

даёт ту же функцию, помноженную на собственное значение Fn , а

на константы он, разумеется, не действует. Далее, чтобы получить требуемый результат, следует поступить так же, как в п/п. 4.4.1 при доказательстве соотношения (4.4.4).

Заметим, что формула (4.4.7) имеет смысл только при условии, что входящий в её правую часть интеграл, вообще говоря, несобственный, сходится. Указанное условие будет выполнено, если волновая функция имеет конечную норму. Но это и предполагалось при выводе формулы (4.4.7), поскольку вывод опирался на условие нормировки (4.4.3).

4.4.3. Плотность вероятности результата измерения динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений

Коэффициент (4.3.23)

253

п/п. 4.1.3). В соответствии с (4.1.9) квадрат модуля величины (4.4.8) есть плотность вероятности соответствующего перехода:

Функция P(F) (4.4.9) представляет собой плотность вероятности случайного события (п/п. 1.1.4), состоящего в том, что при измерении физической величины F микросистемы, находящейся в состоянии ψ(t,q), получится значение F. Иначе говоря, вероятность того, что результат измерения окажется в интервале F1 ≤ F ≤ F2 (1.4.25), равна

Докажем что, если волновая функция ψ(t, q), описывающая состояние микросистемы, нормирована на 1 (4.4.3), то и плотность вероятности (4.4.9) нормирована (1.4.27):

(вне интервала Fmin ≤ F ≤ Fmax P(F) ≡ 0).

254

Для этого подставим в подынтегральное выражение (4.4.3) вместо ψ(t,q) разложение (4.3.24), а вместо ψ *(t, q) —

разложение, следующее из (4.3.24):

Fmin

Далее воспользуемся условием ортонормировки собственных функций ψF (t, q) (4.3.27) и свойством (4.3.28) дельта – функции Дирака:

Равенство (4.4.11) доказано.

255

4.4.4. Среднее значение динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений

Математическое ожидание (среднее значение) результата измерения непрерывной случайной величины F в состоянии микросистемы ψ(t, q) по определению (2.1.15) равно

Fmin

Покажем, что величину (4.4.13), как и для случая дискретного спектра собственных значений (п/п. 4.4.2) можно подсчитать по соотношению (4.4.7).

В самом деле: разлагая функции под знаком интеграла (4.4.7) в обобщённый интеграл Фурье и учитывая, что результатом воздействия оператора на собственную функцию является произведение той же функции на собственное значение, а на константы оператор не действует, получим:

256