6. МИКРОЧАСТИЦА В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
6.1.Момент импульса
6.1.1.Центральная сила
Центральной называется сила, действующая вдоль прямой, соединяющей точечный источник (центр) силы и частицу — материальную точку. Если центр силы находится в начале координат, а r(x, y, z) — радиус – вектор положения частицы, то
F = Cr (С — скаляр).
Проверим, что потенциальная энергия Φ(x, y, z) частицы,
находящейся в поле центральной силы (или, как говорят, в центральном поле), зависит только от расстояния частицы до источника поля:
Φ(t, x, y, z) = Φ(t, r) ; r ≡ r = x2 + y2 + z2 . |
(6.1.1) |
Действительно, поскольку сила F по определению равна градиенту от потенциальной энергии с обратным знаком, то, вычисляя градиент от выражения (6.1.1) с учётом правила дифференцирования сложной функции, имеем:
317
F = −∂∂Φr = −∂∂Φr ∂∂rr .
Но проекция вектора градиента радиус – вектора равна
∂r = |
∂ |
x2 + y2 + z2 = |
1 |
2x = x |
, |
∂x |
∂x |
|
2 x2 + y2 + z2 |
r |
|
так что
∂∂rr = rr .
Окончательно получим
F = − |
∂Φ |
r . |
(6.1.2) |
|
|||
|
∂r r |
|
|
Таким образом, если потенциальная энергия частицы зависит от её положения по отношению к источнику поля в соответствии с (6.1.1), то сила (6.1.2), действующая на частицу со стороны источника поля, центральна, что и требовалось доказать.
Центральной, например, является сила тяготения (1.3.3), действующая на точечную частицу массы m1 со стороны точечного же источника гравитационного поля, обладающего массой m2
(п/п. 1.3.4):
318
F = G m1m2 r2 −r1 . |
||
21 |
r |
2 r |
|
||
Соответствующая потенциальная энергия определяется законом всемирного тяготения (1.3.2):
Φ(r) = −G m1rm2 + E0 .
Ещё один пример центральной силы — сила взаимодействия точечных заряженных частиц (например, электрона и атомного ядра). В соответствии с законом Кулона (п/п. 1.3.8) потенциальная энергия одной из них в поле, создаваемом другой, равна (1.3.5)
q q |
2 |
|
|
|
|
||
|
1 |
|
+Φ0 (CGSE) |
|
|||
r |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
, |
(6.1.3) |
|
Φ(r) = q q |
|
|
|
||||
|
1 |
|
2 |
|
+Φ0 (CI) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4πε0r |
|
|
||||
|
|
|
|||||
где q1 и q2 — заряды частиц, а r — расстояние между частицами.
Центральными могут быть и силы взаимодействия между неточечными объектами — например, между двумя атомами.
Центральные силы играют важную роль в квантовой механике элементарных частиц, атомных ядер, атомов и молекул.
319
6.1.2. Момент импульса как классическая динамическая переменная микрочастицы
В классической механике моментом импульса (или, как иногда ещё говорят, моментом количества движения) частицы, находящейся в точке r пространства и движущейся с импульсом p, называется вектор
M = r × p. |
(6.1.4) |
Проекции векторного произведения (6.1.4) выражаются через проекции векторов – сомножителей следующим образом:
M x = ypz − zpy ; M y = zpx − xpz ; M z = xpy − ypx . |
(6.1.5) |
Фактически момент импульса — это не одна, а три динамических переменных M x , M y , M z (6.1.5).
Момент импульса является важной динамической характеристикой материальной точки, движущейся относительно источника поля. Из (6.1.4) видно, что если частица движется вдоль луча, соединяющего её с источником поля, т.е. вектор p параллелен (коллинеарен) вектору r, то её момент импульса M равен нулю. Рассматриваемый вектор отличен от нуля, только если вектор импульса p (и скорости dr/dt = p / m) имеет составляющую, перпендикулярную (нормальную) вектору r, т.е. частица «закручивается» вокруг источника поля.
320