или, после подстановок и сокращений,

Соотношение (4.3.43), в сущности, представляет собой обыкновенный интеграл Фурье.

Коэффициент разложения, или, как принято говорить в математике, фурье – образ функции uE (x), подсчитаем в соответствии с формулой (4.3.29):

Соотношение (4.3.44) в соответствии с математической терминологией является обратным по отношению к (4.3.43) преобразованием Фурье.

4.3.7. Тригонометрическое представление дельта – функции

Наряду с представлением δ – функции в виде предела последовательности гауссовских экспонент (п/п. 3.3.2) известно и широко используется тригонометрическое представление δ – функции:

243

что и требуется по определению δ – функции (3.3.5).

Тем не менее, соответствие рассматриваемого представления

δ – функции определению (3.3.5) не очевидно, т.к. при α → ∞ для конечных значений x функция f(x,α) не только не стремится к нулю, но и неограниченно возрастает.

В самом деле: функция f(x) = sin x / x равна 1 при x = 0,

монотонно убывает до нуля при возрастании x до π и при последующем росте x осциллирует, проходя через узловые точки xn =±πn, n = 1,2,… В промежутках между узловыми точками располагаются точки экстремумов. Координаты этих точек являются решениями трансцендентного уравнения xn* = tg xn *.

Приблизительно xn * ≈ ±π(n + 1/2); n = 1,2,…. При этом

f(xn*) ≈ (−1)n / xn *.

Сучётом сказанного функция f(x,α) проходит через узловые точки с координатами xn =±πn/α, n = 1,2,… В точках экстремумов с

координатами xn * ≈ ±π(n + 1/2)/α; n = 1,2,…, значения функции f(x,α) приблизительно равны

245

Видно, что хотя сами по себе абсолютные значения экстремумов рассматриваемой функции убывают по мере роста по модулю их координат, но все эти значения при α → ∞, действительно, не только не стремятся к нулю, а, напротив, неограниченно возрастают. При этом расстояния между соседними узлами и экстремумами, равные πn/α, по мере роста α уменьшаются, а сами эти точки «стягиваются» к x = 0, так что число узлов и экстремумов функции f(x,α) в любой конечной окрестности x = 0 по мере увеличения α неограниченно растёт.

Иными словами, в рассматриваемом представлении δ – функция выглядит как частый гребень. К сожалению, такое поведение мало напоминает «классическую» δ – функцию. Фактически объект, определённый равенством (4.3.45), является другой обобщённой функцией.

Следует, однако, отметить, что сама по себе δ – функция не входит ни в один окончательный результат математических

−∞

246

(ϕ(x) — любая функция, непрерывная при x = 0), которое является основным свойством δ – функции. Именно свойство (4.3.49)

обычно используется в вычислениях, в которых участвует δ – функция.

Покажем, что свойство (4.3.49) выполняется для представления

δ – функции (4.3.45).

Разобьём область интегрирования узловыми точками xn :

При α → ∞ в каждом из рассматриваемых промежутков располагается острый пик функции f(x,α), который быстро спадает к краям интервала. Поэтому каждый из интегралов можно вычислить, используя теорему о среднем:

247