Оператор дифференцирования (2.2.14), очевидно, линейный. А вот операторы возведения в квадрат или логарифмирования — нелинейные.

Единичный оператор (2.2.16) также, разумеется, линеен.

Для дальнейшего удобства запишем оператор Гамильтона в виде двух слагаемых:

ˆ

Оператор K , очевидно, соответствует первым, дифференциальным членам в правых частях операторных равенств (2.2.18) – (2.2.20), и является линейным.

Как видно из (2.2.18) – (2.2.22), оператор Гамильтона — действительно линейный. Поэтому и само уравнение Шрёдингера (2.2.17) является линейным дифференциальным уравнением.

2.2.6. Общие требования к решениям уравнения Шрёдингера

Квадрат модуля волновой функции ψ(t,q1, q2,..., q f ) ≡ ψ(t, q f ),

являющейся решением уравнения Шрёдингера, является плотностью вероятности конфигурации микросистемы,

107

Плотность вероятности (2.2.24) в соответствии со своим вероятностным смыслом (см. п/пп. 1.1.4 и 2.1.2) должна быть

конечной, непрерывной и однозначной функцией координат микросистемы q1, q2,..., q f .

В самом деле: плотность вероятности P(r) может быть бесконечной в точке r0 пространства только при условии, что микрочастица наверняка находится в этой точке пространства. В данном случае координаты микрочастицы не являются случайными величинами, а плотность вероятности того, что частица находится в любой другой точке пространства, равна нулю: P(r ≠r0 ) = 0. (Подробнее этот случай будет рассмотрен дальше). Если же координата — случайная величина, то, очевидно, P(r) < ∞.

Бессмысленной с точки зрения теории вероятностей является ситуация, когда для некоторого значения случайной величины — например, координат микрочастицы r0 — плотность вероятности

P(r0 ) может принимать два или более разных значений. Поэтому плотность вероятности P(r) должна быть однозначной функцией координат.

По аналогичной причине функция P(r) ни в какой точке пространства r0 не может претерпевать разрыва, т.к. в противном случае вероятность обнаружить микрочастицу в окрестности точки

108

r0 зависела бы от того, по какому пути (справа, слева, сверху, снизу и т.п.) мы приблизимся к этой точке.

То же самое относится и к зависимости плотности вероятности сколь угодно сложной микросистемы от координат q1, q2,..., q f ,

определяющих её конфигурацию (2.2.23).

Но из (2.2.23) очевидно, что тем же требованиям удовлетворяет и сама волновая функция ψ(t, q f ): она должна быть конечной,

непрерывной и однозначной функцией координат микросистемы q1, q2,..., q f .

Поэтому любые решения уравнения Шрёдингера, не удовлетворяющие сформулированным условиям, должны быть отброшены как бессмысленные, т.е. не соответствующие никаким реальным физическим состояниям микросистем.

В большинстве случаев волновая функция ψ(t, q f ) является

непрерывными функциями координат. Исключением служат лишь такие точки или поверхности, на которых потенциальная энергия системы Φ(q f ) претерпевает бесконечный скачёк.

Вопросы для самопроверки

2.2.1. Чем отличается уравнение Шрёдингера для одной микрочастицы от волнового уравнения?

109