4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

4.1.Пространство волновых функций

4.1.1.Функциональное пространство

Функциональное пространство — основное понятие функционального анализа, области математики, активно используемой в математическом аппарате квантовой механики.

Функциональное пространство — обобщение понятия векторного пространства. В трёхмерном пространстве вектор — это упорядоченная совокупность трёх чисел — проекций на оси координат: a{ax, ay , az}. Используя вместо «содержательных» обозначений координатных осей просто номера, то же можно записать в виде a{a1, a2, a3}. В n – мерном векторном пространстве вектор определяется уже n проекциями: a{a1, a2,..., an}. Возможны и бесконечномерные векторные пространства, в которых n = ∞. Однако и в этом случае набор координатных осей пространства, а следовательно, и проекций вектора, образует счётное множество.

Очень важным для установления «взаимоотношений» между векторами — элементами векторного пространства — является понятие скалярного произведения векторов. В трёхмерном

208

пространстве скалярное произведение двух векторов a и b определяется соотношением

3

a b = axbx + ayby + azbz ≡ ∑aαbα ;

α=1

в n – мерном пространстве

n

a b = ∑aαbα .

α=1

Если проекциями векторов являются комплексные числа (комплексное векторное пространство), то скалярное произведение векторов представляет собой комплексное число, которое зависит от порядка сомножителей:

Теперь по аналогии с «обычными» векторными пространствами введём понятие функционального пространства.

Функцию f (x), которая определена в области значений аргумента a ≤ x ≤ b , можно приближённо задать в виде последовательности n её значений в n узловых «точках»

209

При этом функция оказывается n – мерным вектором. Проекциями такого вектора являются значения функции в узловых точках

(4.1.2):

Такое приближённое представление функции всем хорошо известно — это просто задание функции в виде таблицы.

Множество различных функций (4.1.3), заданных на одной и той же узловой сетке (4.1.2), образует n – мерное векторное пространство.

Очевидно, подобное представление функций тем точнее, чем больше n. Совершенно точным оно станет, если в качестве «узлов» таблицы будут использованы все точки отрезка (a,b), т.е. всё множество значений аргумента x из области определения функции. Но это множество несчётно, т.е. образует континуум. Для «нумерации» элементов этого множества уже невозможно использовать натуральные числа, т.к. их «не хватит». Поэтому с этой целью используются «просто» сами значения аргумента функции x.

Векторное пространство, в котором векторами в указанном смысле являются всевозможные функции, заданные в одной и той же области определения, и есть функциональное пространство.

210

4.1.2. Скалярное произведение функций

Теперь рассмотрим две, вообще говоря, комплексные функции действительного аргумента f (x) и g(x) — элементы одного и того же функционального пространства. По аналогии с (4.1.1) определим скалярное произведение этих «векторов», просто заменив сумму по всем компонентам (проекциям) интегралом по аргументу:

a

В левой части этого определения записаны два обозначения скалярного произведения функций, которые используются в разных источниках. Мы будем пользоваться первым из них, которое ввёл П.А.М. Дирак.

В математическом аппарате квантовой механики будут рассматриваться скалярные произведения волновых функций, описывающих различные состояния некоторой микросистемы. Скалярное произведение двух таких функций ϕ(t, q) и ψ(t, q) в

соответствии с определением (4.1.4) запишем в виде:

В (4.1.5) буквой q для краткости обозначена совокупность всех f координат, от которых зависят волновые функции рассматриваемой

211

микросистемы (в гл. 2 с этой целью мы использовали сокращённое обозначение q f — см. п/п. 2.2.5, но теперь мы его ещё больше упростим). Интеграл (4.1.5) — f – мерный, а символ dq представляет собой элемент объёма в этом f – мерном пространстве,

dq ≡ dq1dq2...dq f .

Скалярное произведение комплексных функций (4.1.4), (4.1.5), как и векторов (4.1.1), зависит от порядка сомножителей:

Скалярное произведение функции на саму себя называется нормой функции. Как видно из определения скалярного произведения (4.1.5), под знаком интеграла при этом оказывается квадрат модуля функции. Поэтому норма любой функции неотрицательна:

Равенство нулю в (4.1.7) имеет место только в случае ψ ≡ 0.

Как и в векторной алгебре, две функции называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

212