- •ВВЕДЕНИЕ
- •ЛИТЕРАТУРА
- •1. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА — РЕВОЛЮЦИЯ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ
- •1.1. Классическая картина мира
- •1.1.1. Мир материален
- •1.1.2. Две формы существования материи
- •1.1.3. Вещество
- •1.1.4. Поле
- •1.1.5. Сосуществование вещества и поля
- •1.1.6. Экспериментальные факты, противоречащие классической физике
- •Вопросы для самопроверки
- •1.2. Классическая механика
- •1.2.1. Уравнения движения
- •1.2.2. Математическая модель
- •1.2.3. Потенциальная энергия
- •1.2.4. Энергия
- •1.2.5. Сохранение энергии
- •1.2.6. Импульс
- •1.2.7. Функция Гамильтона
- •1.2.8. Релятивистская механика
- •Вопросы для самопроверки
- •1.3. Классическая теория поля
- •1.3.1. Гравитационное поле
- •1.3.2. Закон всемирного тяготения
- •1.3.3. Потенциальная энергия силы тяготения
- •1.3.4. Сила тяготения
- •1.3.5. Общая теория гравитации
- •1.3.6. Электромагнитное поле
- •1.3.7. Уравнения электромагнитного поля
- •1.3.8. Электрическое поле
- •1.3.9. Напряжённость электрического поля
- •1.3.10. Другие поля
- •Вопросы для самопроверки
- •1.4. Основные принципы квантовой физики
- •1.4.1. Краткая история квантовой физики
- •1.4.2. Корпускулярно – волновой дуализм
- •1.4.3. Принцип неопределённостей
- •1.4.4. Вероятностный характер динамических событий
- •1.4.5. Крушение или рождение картины мира?
- •1.4.6. Принцип дополнительности Н. Бора
- •1.4.7. Почему мы не видим квантовых эффектов?
- •Вопросы для самопроверки
- •2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
- •2.1. Волновая функция
- •2.1.1. Волновая функция микрочастицы
- •2.1.2. Вероятностный смысл волновой функции
- •2.1.3. Статистические характеристики случайных величин
- •2.1.4. Статистические характеристики координат микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •2.2. Вычисление волновой функции
- •2.2.1. Волновое уравнение
- •2.2.2. Волновая функция системы нескольких частиц
- •2.2.3. Волновое уравнение системы нескольких частиц
- •2.2.4. Волновая функция и волновое уравнение частицы с одной степенью свободы
- •2.2.5. Уравнение Шрёдингера в операторном виде
- •2.2.6. Общие требования к решениям уравнения Шрёдингера
- •Вопросы для самопроверки
- •2.3. Замкнутая микросистема
- •2.3.1. Решение уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •2.3.2. Стационарные состояния
- •2.3.3. Связанные состояния
- •2.3.4. Стационарные связанные состояния
- •2.3.5. Общие черты решений одномерных задач о связанных стационарных состояниях
- •2.3.6. Состояния рассеяния
- •2.3.7. Общие черты решений одномерных стационарных задач о рассеянии микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •3. ОПЕРАТОРЫ ИМПУЛЬСА, КООРДИНАТЫ И ЭНЕРГИИ МИКРОЧАСТИЦЫ
- •3.1. Как построить оператор динамической переменной
- •3.1.1. Зачем нужны операторы в квантовой механике
- •3.1.2. Собственные функции и собственные значения операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •3.2. Оператор импульса
- •3.2.1. Свойства собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.2. Вычисление собственной функции оператора импульса в одномерном случае
- •3.2.3. Оператор импульса микрочастицы с одной степенью свободы
- •3.2.4. Операторы проекций импульса микрочастицы и их общие собственные функции
- •3.2.5. Является ли свободная микрочастица «плоской волной»?
- •Вопросы для самопроверки
- •3.3. Оператор координаты
- •3.3.1. Свойства собственной функции оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.2. Дельта – функция Дирака
- •3.3.3. Собственная функция оператора координаты и свойство оператора координаты в одномерном случае
- •3.3.4. Операторы координат микрочастицы и их общая собственная функция
- •Вопросы для самопроверки
- •3.4. Оператор Гамильтона
- •3.4.1. Принцип соответствия Н. Бора
- •3.4.2. Оператор кинетической энергии микрочастицы
- •3.4.3. Оператор потенциальной энергии микрочастицы
- •3.4.4. Оператор Гамильтона микрочастицы
- •Вопросы для самопроверки
- •4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •4.1. Пространство волновых функций
- •4.1.1. Функциональное пространство
- •4.1.2. Скалярное произведение функций
- •4.1.3. Амплитуда и вероятность перехода
- •Вопросы для самопроверки
- •4.2. Сопряжённые и самосопряжённые операторы
- •4.2.1. Сопряжённый оператор
- •4.2.2. Самосопряжённый оператор
- •Вопросы для самопроверки
- •4.3. Собственные значения и собственные функции самосопряжённых операторов
- •4.3.1. Собственные значения
- •4.3.2. Собственные функции
- •4.3.3. Полнота системы собственных функций самосопряжённого оператора
- •4.3.4. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Дискретный спектр собственных значений
- •4.3.5. Разложение произвольной функции по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора. Непрерывный спектр собственных значений
- •4.3.6. Разложение волновой функции произвольного стационарного состояния микрочастицы по полной ортонормированной системе собственных функций оператора импульса
- •4.3.7. Тригонометрическое представление дельта – функции
- •Вопросы для самопроверки
- •4.4. Распределение вероятностей динамической переменной
- •4.4.1. Вероятность результата измерения динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.2. Среднее значение динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
- •4.4.3. Плотность вероятности результата измерения динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.4. Среднее значение динамической переменной: непрерывный спектр собственных значений
- •4.4.5. Коэффициент разложения как волновая функция в F – представлении
- •Вопросы для самопроверки
- •4.5. Теоремы П. Эренфеста
- •4.5.1. Формулировки, смысл и применение теорем П. Эренфеста
- •4.5.2. Доказательство первой теоремы П. Эренфеста
- •4.5.3. Доказательство второй теоремы П. Эренфеста
- •Вопросы для самопроверки
- •5. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ
- •5.1. Коммутация операторов
- •5.1.1. Основные правила алгебры операторов
- •5.1.2. Коммутатор операторов
- •5.1.3. Коммутаторы операторов координат и проекций импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.2. Свойства произведений операторов
- •5.2.1. Оператор, сопряжённый произведению операторов
- •5.2.2. Самосопряжённые комбинации самосопряжённых операторов
- •5.2.3. Положительно определённые операторы
- •Вопросы для самопроверки
- •5.3. Теорема В. Гайзенберга
- •5.3.1. Неравенство Гайзенберга
- •5.3.2. Следствие неравенства Гайзенберга
- •5.3.3. Соотношение неопределённостей между координатой и проекцией импульса
- •Вопросы для самопроверки
- •5.4. Общие собственные функции коммутирующих самосопряжённых операторов
- •5.4.1. Прямая теорема об общих собственных функциях коммутирующих операторов
- •5.4.2. Обратная теорема об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.5. Когда динамические переменные могут, а когда не могут одновременно иметь определённые значения?
- •5.5.1. Что запрещают соотношения неопределённостей
- •5.5.2. Что разрешают теоремы об общих собственных функциях коммутирующих самосопряжённых операторов
- •Вопросы для самопроверки
- •5.6. Динамическое уравнение Гайзенберга
- •5.6.1. Скорость изменения среднего значения динамической переменной
- •5.6.2. Уравнения Эренфеста как частные случаи уравнений Гайзенберга
- •Вопросы для самопроверки
- •6. МИКРОЧАСТИЦА В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
- •6.1. Момент импульса
- •6.1.1. Центральная сила
- •6.1.2. Момент импульса как классическая динамическая переменная микрочастицы
- •6.1.3. Сохранение момента импульса классической частицы в центральном поле
- •6.1.4. Сохранение энергии классической частицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.2. Оператор момента импульса
- •6.2.1. Коммутационные соотношения между операторами проекций момента импульса
- •6.2.2. Коммутационные соотношения между операторами квадрата и проекций момента импульса
- •6.2.3. Сохранение момента импульса микрочастицы в центральном поле
- •Вопросы для самопроверки
- •6.3. Собственные функции и собственные значения оператора момента импульса
- •6.3.1. Операторы квадрата и проекций момента импульса в декартовых и сферических координатах
- •6.3.2. Собственные значения операторов квадрата и проекции момента импульса
- •6.3.3. Собственные функции операторов квадрата и проекции момента импульса в сферических координатах
- •Вопросы для самопроверки
- •6.4. Стационарные состояния микрочастицы в поле центральной силы
- •6.4.1. Интегралы движения
- •6.4.2. Решение стационарного уравнения Шрёдингера методом разделения переменных
- •6.4.3. Радиальное уравнение
- •6.4.4. Характер решений радиального уравнения Шрёдингера
- •6.4.5. Вырождение энергетических уровней
- •Вопросы для самопроверки
- •7. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ МИКРОЧАСТИЦ
- •7.1. Переносное и относительное движение двух частиц
- •7.1.1. Система многих микрочастиц
- •7.1.2. Координаты центра масс и относительного расположения двух частиц
- •7.1.3. Разделение переменных в стационарном уравнении Шрёдингера
- •7.1.4. Центральная сила взаимодействия микрочастиц
- •Вопросы для самопроверки
- •7.2. Двухатомная молекула
- •7.2.1. Эффективная потенциальная энергия межатомного взаимодействия в молекуле
- •7.2.2. Колебательно – вращательные энергетические уровни и радиальные волновые функции молекулы
- •7.2.3. Модель «гармонический осциллятор – жёсткий ротатор» для приближённого описания колебательно – вращательных состояний двухатомной молекулы
- •Вопросы для самопроверки
- •7.3. Атом водорода и водородоподобные ионы
- •7.3.1. Состояния относительного «движения» электрона и ядра
- •7.3.2. Энергетические уровни
- •7.3.3. Волновые функции
- •7.3.4. Сравнение теории с экспериментом
- •Вопросы для самопроверки
5.1.2. Коммутатор операторов
Коммутатором операторов Fˆ и Gˆ называется оператор
ˆ ˆ |
ˆ ˆ ˆ ˆ |
(5.1.15) |
[F,G] ≡ FG −GF . |
||
Порядок операторов в коммутаторе важен: очевидно, что
ˆ ˆ |
ˆ ˆ ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
(5.1.16) |
[G, F] ≡ GF − FG = −[F,G]. |
|||
Если операторы коммутируют, FˆGˆ = GˆFˆ , то их коммутатор равен нулевому оператору:
ˆ ˆ |
ˆ |
(5.1.17) |
[F,G] =0. |
||
Вследствие (5.1.13) и (5.1.17)
ˆ ˆ ˆ ˆ |
ˆ |
(5.1.18) |
[F,1] =[1, F] = 0 . |
||
Из (5.1.16), а также из примечания 3 к определению 7 п/п. 5.1.1 очевидно, что для любого оператора
[Fˆ , Fˆ ] = 0ˆ .
282
5.1.3. Коммутаторы операторов координат и проекций импульса
Вычислим коммутаторы операторов, которые представляют в квантовой механике динамические переменные.
В соответствии с основным свойством оператора координаты (3.3.1), (3.3.11) коммутирующими являются операторы разных координат xˆ, yˆ, zˆ, действующие на волновые функции микрочастицы: например,
xˆyˆψ(t, x, y, z) = xˆ( yˆψ(t, x, y, z)) =
=xˆ( yψ(t, x, y, z)) = yxˆψ(t, x, y, z) = yxψ(t, x, y, z)
ианалогично
yˆxˆψ(t, x, y, z) = xyψ(t, x, y, z) = yxψ(t, x, y, z) ,
т.е.
[xˆ, yˆ] =[ yˆ, xˆ] = 0ˆ .
В общем случае
[x |
, x |
|
ˆ |
; α, β =1,2,3. |
(5.1.19) |
β |
] = 0 |
||||
ˆα |
ˆ |
|
|
|
283
Легко показать, что коммутируют между собой операторы, являющиеся произвольными функциями координат: в самом деле, поскольку для любой такой функции
f (xˆ, yˆ, zˆ)ψ(x, y, z) = f (x, y, z)ψ(x, y, z),
то
|
|
|
ˆ |
(5.1.20) |
[ f (x, y, z), g(x, y, z)] = 0 . |
||||
ˆ ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
|
|
Точно так же коммутируют между собой и операторы проекций импульса (3.2.39). Например,
p p ψ = −ih |
∂ |
|
−ih∂ψ = −h2 |
|
∂2ψ |
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
ˆ x ˆ y |
∂x |
|
∂y |
|
|
∂x∂y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
p p ψ = −ih |
∂ |
−ih |
∂ψ |
= −h2 |
∂2ψ |
= −h2 |
∂2ψ |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
ˆ y ˆ x |
|
|
|
|
|
∂y∂x |
∂x∂y |
||||
|
∂y |
|
∂x |
|
|
||||||
т.е.
[ pˆ x , pˆ y ] = 0ˆ ,
или в общем случае
[ p |
, p |
|
ˆ |
; α, β =1,2,3. |
(5.1.21) |
β |
] = 0 |
||||
ˆα |
ˆ |
|
|
|
284
Коммутируют также операторы координаты и проекции импульса, относящиеся к разным степеням свободы микрочастицы: например,
xp ψ = x |
−ih |
∂ψ |
|
= −ihx |
∂ψ |
= −ihx |
∂ψ |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
ˆˆ y |
ˆ |
|
|
|
∂y |
|
ˆ |
∂y |
|
|
∂y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
p xψ = p |
|
xψ = −ih |
∂(xψ) |
= −ihx |
∂ψ |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
ˆ y ˆ |
|
ˆ y |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или
[xˆ, pˆ y ] =[ pˆ y , xˆ] = 0ˆ .
В общем виде
[x |
, p |
|
ˆ |
; α, β =1,2,3; α ≠ β . |
(5.1.22) |
β |
] = 0 |
||||
ˆα |
ˆ |
|
|
|
Однако операторы «одноимённых» координаты и проекции импульса не коммутируют. Так,
xp ψ = x −ih |
∂ψ |
= −ihx |
∂ψ |
= −ihx |
∂ψ |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
ˆˆ x |
ˆ |
|
|
|
ˆ |
∂x |
|
|
∂x |
||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
||||||
p xψ = p |
xψ = −ih |
∂(xψ) |
= −ihx |
∂ψ |
−ihψ , |
||||||||
|
|
||||||||||||
ˆ x ˆ |
ˆ x |
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и, следовательно,
285
[x, p |
ˆ |
(5.1.23) |
] = ih1. |
||
ˆ ˆ x |
|
|
В общем виде
[x |
, p |
ˆ |
; α =1,2,3. |
(5.1.24) |
] = ih1 |
||||
ˆα |
ˆα |
|
|
|
Выведем коммутационное соотношение между произвольной
функцией оператора координаты f (x) |
[см. п/п. 3.4.3, (3.4.12)] и |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператором «одноимённой» проекции импульса p |
: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ x |
|
|
|
|
|
|
f (x) p ψ = |
f (x) −ih |
∂ψ |
= −ihf |
(x) |
∂ψ |
= −ihf (x) |
∂ψ |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ˆ |
ˆ x |
|
ˆ |
|
|
ˆ |
∂x |
|
|
|
|
∂x |
||||
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|||||||
p |
f |
(x)ψ = p |
f (x)ψ = −ih |
∂( fψ) |
= −ihf (x) |
∂ψ |
−ih |
df |
ψ , |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
ˆ x |
|
ˆ |
ˆ x |
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂x |
|
|
dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и, следовательно,
[ f (x), p |
] = ih |
df |
ˆ |
(5.1.25) |
|
||||
|
1. |
|||
ˆ ˆ x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
Задача 5.1.1. Выведите коммутационное соотношение между
ˆ
операторами импульса pˆ x и Гамильтона H (3.4.22)
ˆ |
h2 ∂2 |
ˆ |
||
|
|
|
||
H =− |
2m ∂x2 + Φ(t,x)1 |
|||
|
286 |
|
||
микрочастицы с одной степенью свободы:
ˆ |
|
] = ih |
∂Φ |
ˆ |
(5.1.26) |
|
|
||||
[H , p |
|
1. |
|||
|
ˆ x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание. При выводе используйте доказанные выше утверждения о коммутации оператора с самим собой и о коммутационном соотношении между операторами импульса и функции координаты. Результат проверьте непосредственным вычислением.
Задача 5.1.2. Выведите |
коммутационное |
соотношение между |
|
операторами координаты |
x и Гамильтона |
ˆ |
микрочастицы с |
H |
|||
|
ˆ |
|
|
одной степенью свободы:
ˆ |
|
ih |
p |
. |
(5.1.27) |
|
|
||||
[H , x] = − |
|
||||
|
ˆ |
m |
ˆ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание 1. При выводе используйте доказанные выше утверждения о коммутации любых функций операторов координат.
Примечание 2. Используйте коммутационное соотношение между операторами квадрата проекции импульса и одноимённой координаты:
[ p2 |
, x] = −2ihp |
. |
(5.1.28) |
|
ˆ x |
ˆ |
ˆ x |
|
|
|
|
287 |
|
|