Вопросы для самопроверки
5.2.1.Выведите самостоятельно правило вычисления оператора, сопряжённого произведению операторов.
5.2.2.Является ли коммутатор самосопряжённых операторов тоже самосопряжённым оператором? Проверьте.
5.2.3.Как можно «исправить» коммутатор самосопряжённых операторов, чтобы он стал тоже самосопряжённым оператором?
5.2.4.Докажите, что оператор кинетической энергии микрочастицы является положительно определённым.
5.3.Теорема В. Гайзенберга
5.3.1.Неравенство Гайзенберга
Теорема 5.3.1. Пусть |
ˆ ˆ |
+ |
, |
ˆ ˆ + |
ˆ |
ˆ ˆ |
F = F |
|
G = G |
и ξ = i[F,G]. Тогда |
|||
выполняется неравенство Гайзенберга:
|
|
|
≥ |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
F 2 |
G2 |
≥ 0. |
(5.3.1) |
|||||||
|
ξ |
|||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Рассмотрим оператор
ˆ = ˆ − ˆ
P xF iG ,
296
где x — действительная величина. Сопряжённый оператор [равенство (4.2.8) из теоремы 4.2.2]:
ˆ + |
ˆ |
ˆ |
P |
= xF +iG . |
|
Используя теорему 5.2.2, построим положительно определённый оператор
ˆ ˆ + |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
2 ˆ 2 |
ˆ ˆ 2 |
. |
ηˆ = PP |
= (xF −iG)(xF +iG) = x |
F |
+ xξ + G |
||||
Вычислим среднее значение (4.4.7) рассмотренного оператора в состоянии микросистемы, которое описывается волновой функцией
ψ :
η =<ψ |ηˆ |ψ >= x2 F 2 + xξ +G2 .
В соответствии с неравенством (5.2.10) из теоремы 5.2.4 η ≥ 0
и, следовательно,
x2 |
F 2 |
|
|
+ |
G2 |
≥ 0. |
(5.3.2) |
+ xξ |
|||||||
Все три коэффициента полученного квадратного трёхчлена, будучи средними значениями самосопряжённых операторов, вследствие равенства (4.2.13) из теоремы 4.2.4 действительны
[вследствие равенства (5.2.6) из теоремы 5.2.3 оператор ξˆ = ξˆ+ —
297
самосопряжённый]. Поэтому квадратный трёхчлен (5.3.2) не имеет действительных корней и, следовательно, в соответствии с известной теоремой элементарной алгебры его дискриминант неположителен:
|
|
2 − 4 |
F 2 |
|
G2 |
≤ 0 . |
(5.3.3) |
ξ |
|||||||
А из (5.3.3) вытекает неравенство (5.3.1), которое требуется доказать.
5.3.2. Следствие неравенства Гайзенберга
Рассмотрим операторы отклонений физических величин (динамических переменных микросистемы) F и G от их средних значений:
ˆ |
ˆ |
|
|
ˆ |
; |
ˆ |
|
|
ˆ |
|
(5.3.4) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
f |
= F − F1 |
gˆ = G |
−G1. |
|
||||||||
Поскольку операторы |
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
ˆ + |
и |
|
F |
и G — самосопряжённые, то |
f |
= f |
|||||||||
gˆ = gˆ + . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
(5.3.5) |
|
|
ξ ≡ i[F,G] = i[ f , gˆ]. |
|
||||||||||
Действительно,
298
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
ˆ ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
ˆ ˆ |
|
|
ˆ |
= |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
[ f , g] = (F |
− F1)(G −G1) −(G −G1)(F − F1) |
||||||||||||||||||||
|
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
ˆ ˆ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
=(FG |
−GF) − FG −GF |
+GF + FG =[F,G]. |
|||||||||||||||||||
Тогда из теоремы Гайзенберга [теорема 5.3.1, равенство (5.3.1)] следует, что
|
|
|
≥ |
1 |
|
|
2 . |
|
|
f 2 |
g2 |
(5.3.6) |
|||||||
|
ξ |
||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Следовательно, среднеквадратичные отклонения физических величин (динамических переменных микросистемы) F и G от их средних значений
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
F |
|
2 |
G |
|
2 |
(5.3.7) |
|||||
≡ f |
|
|
; |
≡ g |
|
|
|||||
rms |
|
|
|
|
rms |
|
|
|
|
||
(rms — root–means–square), которые можно рассматривать как количественную меру неопределённостей значений физических величин (динамических переменных микросистемы) F и G в состоянии, описываемом волновой функцией ψ (по которой проводится усреднение), как видно из (5.3.6), (5.3.7), находятся между собой в следующем соотношении:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Frms Grms ≥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
|
||
|
ξ |
; |
|
|
(5.3.8) |
|||||||
2 |
|
ξ = i[F,G]. |
||||||||||
|
299 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||