соответствия Н. Бора, смысл которого мы более подробно обсудим в дальнейшем.
Воздействие оператора импульса pˆ x (3.2.27) на произвольную волновую функцию ψ(t,x) приводит к следующему результату:
pˆ x ψ(t,x)= −ih∂∂ψ . x
3.2.4. Операторы проекций импульса микрочастицы и их общие собственные функции
У «нормальной» корпускулы, обладающей тремя степенями свободы, имеется три проекции вектора импульса p( px , py , pz ). Им
соответствуют три оператора проекций импульса микрочастицы: pˆ x , pˆ y , pˆ z .
Волновая функция, описывающая состояние микрочастицы с определённым импульсом, т.е. с определёнными (не случайными) значениями всех трёх проекций вектора импульса, является общей собственной функцией операторов всех трёх проекций импульса:
pˆ xψ px , py , pz (t, x, y, z) = pˆ yψ px , py , pz (t, x, y, z) = pˆ zψ px , py , pz (t, x, y, z) =
pxψ px , py , pz (t, x, y, z) ;
pyψ px , py , pz (t, x, y, z); (3.2.28) pzψ px , py , pz (t, x, y, z).
Соотношения (3.2.28) можно записать в компактном виде:
173
p ψ |
(t, r) = p ψ |
(t, r); α = x, y, z , |
(3.2.29) |
||
ˆα |
p |
α |
p |
|
|
где использовано обозначение
ψ p (t, r) ≡ψ px , py , pz (t, x, y, z) .
Собственная функция трёх операторов проекций импульса ψ p (t, r) должна удовлетворять тем же условиям, что и в случае
одной степени свободы (п/п. 3.2.2):
•описывать состояние свободной частицы, на которую не действуют никакие силы, а потенциальная энергия постоянна и равна Φ0 ;
•быть пространственно – периодической с периодом, равным длине волны де Бройля
λ = |
2πh |
; p = |
|
p |
|
; |
(3.2.30) |
|
|
|
|||||||
p |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
•и, наконец, предсказывать равновероятность любых положений микрочастицы в пространстве:
|
|
ψ p (t, r) |
|
2= const. |
(3.2.31) |
|
|
Искомая функция имеет вид, аналогичный (3.2.6):
174
|
|
i |
|
|
|
ψ p (t,r) = exp |
− |
|
Et u p (r) . |
(3.2.32) |
|
h |
|||||
|
|
|
|
Пространственная часть волновой функции (3.2.32)
i |
|
i |
|
|
||
u p (r) = Aexp |
|
p r |
≡ Aexp |
|
(px x + py y + pz z) |
(3.2.33) |
|
|
|||||
h |
|
h |
|
|
||
[ср. с (3.2.19)] является частным решением стационарного уравнения Шрёдингера
ˆ = E
H u p (r) u p (r)
с оператором Гамильтона (2.2.19), аналогичным (3.2.24):
ˆ |
h2 |
ˆ |
H =− |
2m |
+ Φ0 1. |
|
|
(3.2.34)
(3.2.35)
Решение уравнения (3.2.34), (3.2.35), которое аналогично процедуре, описанной в п/п. 3.2.2, будет рассмотрено ниже.
Подставив волновую функцию (3.2.33) в уравнение Шрёдингера (3.2.34), (3.2.35), получим аналогичное (3.2.16) «классическое» соотношение, которое выражает энергию микрочастицы через её импульс и потенциальную энергию:
175
E = Φ0 |
+ |
px2 |
+ p2y + pz2 |
≡ Φ0 + |
p2 |
. |
(3.2.36) |
|
2m |
2m |
|||||
|
|
|
|
|
|
Формула (3.2.36) определяет классическую функцию Гамильтона микрочастицы, т.е. её энергию, выраженную через координаты и импульсы [в данном случае функция (3.2.36) от координат не зависит].
Легко видеть, что волновая функция (3.2.32), (3.2.33) удовлетворяет двум требованиям, сформулированным в начале этого подпункта.
•Вследствие постоянства энергии микрочастицы (3.2.36) её импульс также является интегралом движения, т.е. имеет определённые величину и направление.
•Квадрат модуля волновой функции (3.2.31) постоянен:
ψ p (t, r) 2= u p (r) 2 = A2 = const.
Убедиться в том, что волновая функция (3.2.32), (3.2.33) является пространственно – периодической, можно так же, как в одномерном случае (п/п. 3.2.2). Выберем одну из координатных осей — например, ось x — вдоль постоянного направления вектора импульса p. В такой системе координат px = p, py = pz = 0, и
трёхмерные функции (3.2.32), (3.2.33) примут в точности такой же вид, что и (3.2.19), (3.2.20). А пространственная периодичность одномерных функций (3.2.19), (3.2.20) с периодом, равным длине волны де Бройля (3.2.30), доказана в п/п. 3.2.2.
176
Теперь выясним вид операторов проекций импульса.
По аналогии с (3.2.36) (а фактически используя принцип соответствия Бора, который будет изложен ниже) можно записать и оператор Гамильтона микрочастицы — см. (3.2.24):
ˆ |
|
p2 |
+ p2 |
+ p2 |
|
|
|
ˆ x |
ˆ y |
ˆ z |
|
|
|
H = Φ0 |
+ |
|
|
|
. |
(3.2.37) |
|
2m |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Сравнивая (3.2.37) и (3.2.35), получим аналогичные (3.2.25) выражения для операторов квадрата импульса:
pˆ 2 = −h2 ∂2 ; α = x, y, z . (3.2.38)
α ∂xα2
Из (3.2.38) найдём искомые выражения операторов проекций импульса:
p |
= −ih |
∂ |
; |
p |
= −ih |
∂ |
; |
p |
= −ih |
∂ |
. |
(3.2.39) |
|
|
|
||||||||||
ˆ x |
|
∂x |
ˆ y |
|
∂y |
ˆ z |
|
∂z |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Выражения (3.2.39) имеют вид, который естественным образом обобщает соотношение (3.2.27) для одномерного случая.
Результатом воздействия любого из операторов (3.2.39) на произвольную функцию ψ(t,x,y,z) ≡ ψ(t,r) является выражение
pˆ |
ψ(t, x, y, z) = −ih |
∂ψ |
; α = x, y, z . |
|
|||
α |
|
∂xα |
|
|
|
|
177
Наконец, обсудим некоторые опущенные выше «технические» подробности.
Стационарное трёхмерное уравнение Шрёдингера с оператором Гамильтона (3.2.35)
− |
h2 |
|
u p (r) +Φ0 u p (r) = Eu p (r) |
(3.2.40) |
|||
2m |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
представляется в виде |
|
|
|
|
|||
|
|
|
u p (r) =–k 2 u p (r) , |
|
(3.2.41) |
||
где, как в (3.2.10), (3.2.11), |
|
|
|||||
|
|
|
k 2 ≡ |
2m(E −Φ0 ) |
> 0. |
(3.2.42) |
|
|
|
|
h2 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение (3.2.41) решается методом разделения переменных: неизвестная функция ищется в виде произведения трёх функций, каждая из которых зависит только от одной пространственной переменной:
u p (r) = X(x)Y(y)Z(z). |
(3.2.43) |
178
Подставив (3.2.43) в (3.2.41), получим:
YZ |
d 2 X |
+ XZ |
d 2Y |
+ XY |
d 2Z |
=–k 2XYZ. |
|
dx2 |
dy2 |
dz2 |
|||||
|
|
|
|
Разделим полученное соотношение на XYZ:
1 d 2 X |
+ |
|
1 d 2Y |
+ |
1 d 2Z |
=–k 2. |
(3.2.44) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
X dx2 |
Y dy2 |
Z dz2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
Каждое из слагаемых в левой части равенства (3.2.44) зависит только от одного из трёх переменных x, y, z, и все они независимы. В правой части равенства — константа. Поскольку равенство (3.2.44) должно выполняться при любых значениях указанных переменных, то каждое из слагаемых в левой части равенства (3.2.44) также равно константе:
1 d 2 X |
=–kx2; |
1 d 2Y |
=–k y2; |
1 d 2Z |
=–kz2, |
(3.2.45) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
X dx2 |
Y dy2 |
Z dz2 |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
причём
kx2+k y2+kz2=k 2. |
(3.2.46) |
179
Нетрудно убедиться, что каждое из слагаемых в левой части (3.2.46) неотрицательно — в противном случае нетривиальные решения уравнений (3.2.45) неограниченны при больших по модулю значениях координат и, следовательно, не могут быть волновыми функциями.
Дальнейшее решение каждого из трёх обыкновенных дифференциальных уравнений (3.2.44) выполняется так же, как в п/п. 3.2.2. В результате получаем частное решение
u p (r) = Aexp[i(kx x + ky y + kz z)], |
(3.2.47) |
которое переходит в (3.2.33) при условии, что
kα = pα / h; α = x, y, z |
(3.2.48) |
[ср. с (3.2.15)].
Приведенные в этом параграфе доказательства нельзя признать абсолютно строгими, а соотношения для операторов импульса и его собственных функций получены не столько благодаря безупречной математической логике, сколько путём правдоподобных рассуждений. Тем не менее, результаты этих рассуждений лежат в основе квантовой механики, и вытекающие из них следствия полностью соответствуют действительности.
180