Задача 4.2.1. Докажите, что оператор импульса pˆ x (3.2.27) —

самосопряжённый.

Задача 4.2.2. Докажите, что оператор координаты xˆ (3.3.1) — самосопряжённый.

Можно показать (это сделано ниже: см. п/п. 5.2.1, следствие

5.2.1.4 теоремы 5.2.1), что если оператор ξˆ — самосопряжённый,

то и любая действительная функция этого оператора f (ξˆ) (3.4.4)

тоже является самосопряжённым оператором. Отсюда следует,

что поскольку операторы импульса и координаты — самосопряжённые, как показано в решениях задач 4.2.1 и 4.2.2, то оператор Fˆ , представляющий любую динамическую переменную F

≡ F(t,q1, q2,..., q f , p1, p2 ,..., p f ) (3.4.1), вследствие (3.4.2) является

самосопряжённым.

В частности, самосопряжённым является оператор Гамильтона

ˆ

микрочастицы H (см. п/п. 3.4.4).

Вопросы для самопроверки

4.2.1.Постройте оператор, сопряжённый оператору дифференцирования. Является ли он самосопряжённым?

4.2.2.Проверьте, что оператор дифференцирования, помноженный на мнимую единицу, является самосопряжённым.

4.2.3.Докажите, что квадрат любого самосопряжённого оператора является тоже самосопряжённым оператором.

225