Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1268 вузов, 4651 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Предмет:
Квантовая физика
Файл:
Квантовая механика / Учебное пособие.pdf
Скачиваний:
311
Добавлен:
21.06.2019
Размер:
2.06 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

6.3. Собственные функции и собственные значения оператора момента импульса

6.3.1. Операторы квадрата и проекций момента импульса в декартовых и сферических координатах

Общие собственные функции и собственные значения операторов квадрата Mˆ 2 и одной из проекций Mˆ z момента импульса получим, найдя нетривиальные решения уравнений (6.2.9), (6.2.10). Проще всего это сделать, используя координатное представление рассматриваемых операторов.

Подставим в формулы (6.2.1) выражения для операторов координат (3.3.1) и импульсов (3.2.39):

ˆ

 

 

∂

− z

∂

 

 

M x = −ih y

 

∂z

 

;

 

 

 

 

 

∂y

 

 

ˆ

 

 

∂

− x

∂

;

(6.3.1)

M y = −ih z

∂x

 

 

 

 

 

∂z

 

 

ˆ

 

 

∂

− y

∂

 

 

M z = −ih x

∂y

 

.

 

 

 

 

∂x

 

 

Заметим теперь, что положение частицы в пространстве по отношению к точечному источнику центрального поля естественно описывать, используя не декартовы, а сферические координаты r(r,ϑ,ϕ). Перейдём в формулах (6.3.1) от декартовых к сферическим координатам, используя известное преобразование:

333

x = r sinϑcosϕ ; y = r sinϑsinϕ; z = r cosϑ . (6.3.2)

После весьма громоздких выкладок, которые здесь нет смысла воспроизводить, получим выражения для операторов проекций момента импульса в сферических координатах:

ˆ

 

 

 

 

∂

 

 

 

 

∂

 

 

M x = ih sinϕ

∂ϑ

+ ctgϑcosϕ

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

∂ϕ

 

ˆ

 

 

 

 

∂

 

−ctgϑsinϕ

 

∂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

(6.3.3)

M y = ih cosϕ

∂ϑ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ϕ

 

ˆ

 

∂

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.3.4)

M z = −ih

∂ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последнее из этих равенств легко проверить, воздействуя оператором (6.3.4) на любую волновую функцию микрочастицы (переменную t для экономии места опускаем):

ˆ

 

 

 

 

 

 

∂

ψ(rsinϑcosϕ, rsinϑsinϕ, rcosϑ) =

M z ψ(x,y,z) = –ih

∂ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ψ

∂x

 

∂ψ ∂y

 

 

 

∂ψ

 

∂z

 

 

 

= −ih

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

=

 

 

 

∂x ∂ϕ

∂y ∂ϕ

 

∂z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ϕ

 

 

 

 

−

∂ψ

rsinϑsinϕ

+

∂ψ

 

 

 

 

 

 

=

= −ih

∂x

 

∂y

rsinϑcosϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ψ

 

 

∂ψ

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

 

∂

 

= −ih x

 

 

− y

 

 

 

= −ih x

 

− y

 

ψ .

∂y

∂x

∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

334

Сложив квадраты операторов проекций момента импульса (6.3.3), (6.3.4), получим следующее выражение для оператора квадрата момента в сферических координатах:

ˆ

2

= −h

2

ϑ,ϕ .

(6.3.5)

M

 

 

Здесь

ϑ,ϕ ≡

1

 

∂

∂

+

1 ∂2

(6.3.6)

 

 

 

sinϑ

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2ϑ ∂ϕ2

 

sinϑ ∂ϑ

∂ϑ

 

 

— угловая часть оператора Лапласа, записанного в сферических координатах:

≡

∂2

+

∂2

+

∂2

=

 

r +

1

ϑ,ϕ ;

(6.3.7)

∂x2

∂y2

∂z2

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

≡

1 ∂

r

2 ∂

 

 

(6.3.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 2 ∂r

 

∂r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— радиальная часть оператора Лапласа.

335

6.3.2. Собственные значения операторов квадрата и проекции момента импульса

Из математики известно, что уравнения на собственные функции и собственные значения (6.2.9), (6.2.10) рассматриваемых операторов (6.3.4), (6.3.5)

− h2 ϑ,ϕψM 2 ,M z (ϑ,ϕ) = M 2ψM 2 ,M z (ϑ,ϕ);

−ih∂∂ϕψ M 2 ,M z (ϑ,ϕ) = M zψ M 2 ,M z (ϑ,ϕ)

имеют нетривиальные, непрерывные, конечные и решения только для собственных значений, следующий дискретный набор:

(6.3.9)

(6.3.10)

однозначные

образующих

M 2 = h2l(l +1) ; l = 0,1, 2,...;

(6.3.11)

M z = hml ; ml = −l, −l +1,..., −1, 0,1,..., l −1, l .

(6.3.12)

Неотрицательное целое число l, нумерующее собственные значения квадрата момента импульса, называется азимутальным квантовым числом. Его значения неограниченны. Магнитное квантовое число ml , напротив, принимает положительные и отрицательные значения, симметричные относительно нуля и ограниченные по модулю значением азимутального квантового числа l. Это и естественно: максимальное значение проекции

336

M z max

вектора не может быть больше модуля вектора. Всего различных значений ml при данном l, как видно, 2l + 1.

Таким образом, квантуется (т.е. принимает дискретный набор значений) как абсолютная величина (длина) вектора момента импульса, так, при данной его длине, и величина проекции этого вектора на произвольно заданную ось — а это значит, что имеется конечное, равное 2l + 1, число возможных ориентаций вектора момента импульса относительно этой оси. При этом, поскольку две другие проекции вектора остаются неопределёнными, неопределённой является и ориентация вектора в пространстве. В

частности, если M z = hl , это вовсе не значит, что вектор M

параллелен оси z, т.к. при l > 1 максимальное по модулю значение

= hl меньше M = h l(l +1) .

То обстоятельство, что возможные значения квадрата и проекции момента импульса микрочастицы (6.3.11), (6.3.12) совершенно не зависят ни от её массы, ни от силового поля, в котором частица находится, т.е. являются универсальными величинами, не может не вызывать удивления. Однако сравнение обсуждаемых теоретических выводов с данными измерений убедительно показывает, что природа устроена действительно так.

337

Соседние файлы в папке Квантовая механика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности