1.1.6. Почему с точки зрения классической физики вещество неустойчиво?
1.2.Классическая механика
1.2.1.Уравнения движения
Движение вещества при скоростях, малых по сравнению со скоростью света, описывается классической механикой Ньютона – Лагранжа – Гамильтона.
Уравнения движения, установленные Исааком Ньютоном, для материальной точки имеют всем известный вид
d 2 x |
|
|
1 |
|
|
α |
≡ &x& |
= |
|
F (t, x, y, z); |
α = x, y, z (1.2.1) |
dt 2 |
|
||||
α |
|
m α |
|
||
или в векторном виде
d 2r |
&& |
|
1 |
|
|
|
dt 2 |
= m F (t, r) . |
(1.2.2) |
||||
≡ r |
||||||
В уравнениях (1.2.1), (1.2.2) r — радиус – вектор положения материальной точки с координатами x,y,z или xα , α = 1,2,3, а m —
масса частицы.
28
1.2.2. Математическая модель
Уравнения движения материальной точки (1.2.1) или (1.2.2)
представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка по времени. Если задать начальные условия, т.е. значения координат r(t0 ) и проекций скорости точки v(t0 ) в
начальный момент времени t0 , то решения трёх уравнений (1.2.1)
однозначно определяют траекторию точки x(t), y(t), z(t), или r(t).
1.2.3. Потенциальная энергия
Если сила, действующая на материальную точку, зависит только от её положения в пространстве и времени, как в (1.2.1), (1.2.2), но не зависит от скорости, то можно определить потенциальную энергию рассматриваемой точки в поле этой силы Φ(t, r) — скалярную функцию, градиент которой (с обратным знаком) определяет вектор силы:
F (t, r) = −gradΦ ≡ − Φ ≡ − |
∂Φ |
. |
(1.2.3) |
|
|||
|
∂r |
|
|
Силы, для которых можно ввести потенциальную энергию (1.2.3), называются потенциальными. Таковы, например, сила тяжести F = mg , где g — ускорение свободного падения, и сила,
действующая на заряженную частицу в электрическом поле
29
напряжённостью E: F = qE , где q — заряд частицы. Вместе с тем
сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля с индукцией B на заряженную частицу, движущуюся со скоростью v,
F = q v ×B |
(1.2.4) |
c |
|
(× — символ векторного произведения), где с — скорость света (формула записана в системе CGSE), не является потенциальной, и для неё ввести скалярную потенциальную энергию (1.2.3) нельзя. В электродинамике с этой целью вводится так называемый векторный потенциал.
Из (1.2.3) очевидно, что потенциальная энергия определена с
точностью до произвольной постоянной (точнее, произвольной величины, не зависящей от координат материальной точки), т.к. любой её выбор не меняет силу, а следовательно, уравнения движения и их решение — траекторию точки, т.е. не влияет на наблюдаемое поведение механической системы.
1.2.4. Энергия
Динамическая переменная
E = K +Φ; |
K = |
m |
r |
2 |
= |
m |
(x |
2 |
+ y |
2 |
+ z& |
2 |
) |
(1.2.5) |
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
& |
|
|
|
& |
|
& |
|
|
|
|
|
30
(K — кинетическая энергия) называется (полной) энергией материальной точки. Энергия может зависеть от времени t явно [если такая зависимость имеется у потенциальной энергии Φ(t, r)]
и неявно — через изменения с течением времени координат xα (t) и
проекций скорости x&α (t) движущейся частицы.
1.2.5. Сохранение энергии
Вычислим с учётом сказанного полную производную энергии (1.2.5) по времени:
dEdt = ∂∂Et + ∂∂Er ddrt + ∂∂Er& ddtr&
(точка между векторами означает скалярное произведение). Используя (1.2.5), получим:
dEdt = ∂∂Φt + ∂∂Φr r&+ ∂∂Kr& r&&.
Поскольку
∂∂Kr& = mr&,
имеем:
31
dE |
= |
∂Φ |
& |
∂Φ |
&& |
(1.2.6) |
||
dt |
∂t |
+ r |
|
∂r |
+ mr |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||
Но вследствие уравнений движения (1.2.2) и определения (1.2.3) сумма в скобках выражения (1.2.6) равна нулю. Отсюда получим результат:
dE |
= |
∂Φ |
. |
(1.2.7) |
dt |
|
|||
|
∂t |
|
||
Из (1.2.7) следует, что если потенциальная энергия — а значит,
и сила — явно не зависит от времени,
∂Φ |
= 0; Φ = Φ(r) , |
(1.2.8) |
|
∂t |
|||
|
|
то энергия сохраняется, или, иначе говоря, является интегралом движения:
dE |
= 0; E = const. |
(1.2.9) |
dt |
|
|
Этот результат, разумеется, является частным случаем фундаментального физического закона сохранения энергии замкнутой системы.
32