Если же правая часть соотношения (1.2.7) отлична от нуля, то она равна работе, совершаемой за единицу времени источником поля над рассматриваемой механической системой. В этом случае система не замкнута, а открыта, и её энергия не сохраняется, т.е. не является интегралом движения.

1.2.6. Импульс

Импульс материального объекта, скорость которого намного меньше скорости света, равен

1.2.7. Функция Гамильтона

Энергия, выраженная через координаты и проекции импульса, называется функцией Гамильтона. В пределе малости скорости объекта по сравнению со скоростью света она равна

33

1.2.8. Релятивистская механика

Если вещество движется со скоростью, не малой по сравнению со скоростью света, то его динамика описывается специальной теорией относительности Альберта Эйнштейна

(релятивистской механикой), которая переходит в механику Ньютона – Лагранжа – Гамильтона в предельном случае малых скоростей движения. В рамках релятивистской механики описанные выше фундаментальные для рассматриваемой формы существования материи понятия (локализация, масса, траектория движения) сохраняются: меняются лишь уравнения динамики. Оказывается, однако, что

•масса движущегося материального объекта зависит от его скорости;

•расстояния и промежутки времени зависят от скорости движения системы отсчёта;

•скорость движения в принципе не может превосходить скорость света, т.е. скорость распространения электромагнитного поля;

•вещество и поле — а следовательно, масса и энергия — подвержены взаимным превращениям.

Отметим, что сила Лоренца (1.2.4), действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу, является

34

многочисленными экспериментами, наряду с идеями квантовой физики стали фундаментом революции в физике ХХ века, о которой шла речь в п. 1.1 пособия.

Поскольку в данном курсе эффекты, сопутствующие движению микрочастиц с околосветовыми скоростями, подробно не рассматриваются, мы лишь для справки приведём некоторые соотношения релятивистской динамики, описывающие подобные процессы.

Пусть векторы скорости и импульса материальной точки равны соответственно

где s — единичный вектор в направлении движения,

v = |v|; p = |p|.

Кинетическая энергия релятивистского объекта связана с его импульсом следующим образом:

В (1.2.14) m — масса покоя материальной точки, т.е. масса в той системе отсчёта, относительно которой точка покоится;

35

c = 299792458 м/с

— скорость света в вакууме. Если частица свободна, т.е. не находится в поле сил, то с учётом (1.2.12) величина (1.2.14) с точностью до произвольной постоянной E0 совпадает с полной энергией частицы Е (1.2.11):

Как видно из (1.2.14), (1.2.15), энергия покоящейся (р = 0) свободной частицы равна

Формула Эйнштейна (1.2.16) (в которой произвольную постоянную «для ясности» опускают) является одним из наиболее знаменитых и популярных соотношений физики ХХ века.

Из формулы (1.2.13) в пределе, когда p << mc, с точностью до константы mc2 следует классическое выражение (1.2.12):

36

По определению, скорость материальной точки как в классической, так и в релятивистской механике связана с её импульсом и кинетической энергией соотношением

Используя (1.2.18), из (1.2.14) получим:

В пределе малых импульсов, p << mc, из (1.2.19) получим классическую формулу (1.2.10): v = p/m. Если же p → ∞, то из

(1.2.19) видно, что v → c. Таким образом, скорость материального объекта действительно не может превысить скорость света в вакууме.

Выразив из (1.2.19) импульс материальной точки через её скорость, получим ещё одну интересную формулу:

37