Вопросы для самопроверки

6.1.1.Почему центральность силы, действующей на материальную точку, является обязательным условием сохранения всех трёх проекций вектора момента импульса?

6.1.2.Необходимо ли условие центральности силы для сохранения энергии материальной точки?

6.2.Оператор момента импульса

6.2.1.Коммутационные соотношения между операторами проекций момента импульса

Вквантовой механике проекции вектора момента импульса представляют операторы. Соответствующие выражения можно получить, используя принцип соответствия Н. Бора (п/п. 3.4.1), т.е. заменяя в соответствующих классических соотношениях (6.1.5) координаты и импульсы их операторами:

Операторы (6.2.1), разумеется, самосопряжённые. Это вытекает из следствия 5.2.1.4 теоремы 5.2.1 (п/п. 5.2.1), поскольку выражения (6.2.1) представляют собой действительные функции

324

(6.1.5) самосопряжённых операторов координат и проекций импульса.

Самосопряжённость операторов (6.2.1) можно, конечно, доказать и непосредственно, используя теоремы о произведениях операторов из п. 5.1 и 5.2. Докажем, например, что самосопряжённым является оператор Mˆ z . Используя формулу

(5.2.1) для вычисления оператора, сопряжённого произведению операторов, запишем:

Mˆ z + = (xˆpˆ y − yˆpˆ x )+ = (xˆpˆ y )+ −( yˆpˆ x )+ = pˆ y+xˆ+ − pˆ x+ yˆ + .

Учтём, что операторы координат и импульсов — самосопряжённые:

Mˆ z+ = pˆ y xˆ − pˆ x yˆ .

А теперь воспользуемся тем, что операторы «разноимённых» координат и импульсов коммутируют (5.1.22). Следовательно,

Mˆ z+ = xˆpˆ y − yˆpˆ x = Mˆ z .

Задача 6.2.1. Покажите аналогичным образом, что операторы Mˆ x и Mˆ y — самосопряжённые.

325

Между тем, операторы разных проекций момента импульса не коммутируют друг с другом.

Теорема 6.2.1. Имеют место следующие коммутационные соотношения между операторами проекций момента импульса:

Доказательство. Выведем первое из соотношений (6.2.2). Для этого вычислим каждое из слагаемых коммутатора (5.1.15)

операторов Mˆ x и Mˆ y отдельно, перемножая операторы координат

и проекций импульса строго в том порядке, в котором они записаны в исходных выражениях (6.2.1):

Теперь вычтем почленно полученные выражения друг из друга и учтём коммутационные соотношения между операторами координат и проекций импульса. Заметим, что во втором и третьем слагаемых обоих выражений все операторы – сомножители коммутируют между собой, т.е. эти произведения операторов не зависят от порядка сомножителей. Но рассматриваемые слагаемые в первом и втором выражении отличаются только порядком

326

сомножителей. Поэтому при вычитании второго выражения из первого эти слагаемые взаимно уничтожатся, и мы получим:

Mˆ xMˆ y − Mˆ yMˆ x = yˆpˆ z zˆpˆ x + zˆpˆ y xˆpˆ z − zˆpˆ x yˆpˆ z − xˆpˆ z zˆpˆ y

Поскольку в последнем соотношении операторы zˆ и pˆ z не коммутируют, а остальные операторы коммутируют и с ними, и между собой, то это соотношение можно переписать в следующем виде:

[Mˆ x , Mˆ y ] = pˆ z zˆ( yˆpˆ x − xˆpˆ y ) + zˆpˆ z ( pˆ y xˆ − pˆ x yˆ) = (xˆpˆ y − yˆpˆ x )(zˆpˆ z − pˆ z zˆ).

Задача 6.2.2. Выведите аналогичным образом два другие коммутационные соотношения (6.2.2).

Рассмотрим оператор квадрата момента импульса

327