Полученное неравенство (5.3.8) есть общее соотношение неопределённостей Гайзенберга.
5.3.3. Соотношение неопределённостей между координатой и проекцией импульса
Рассмотрим, например, x и px . Подсчитаем величины,
фигурирующие в соотношении неопределённостей (5.3.8):
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
ξ = −h; |
ξ |
= h. |
|||||||
ξ = i[xˆ, pˆ x ] = −h1 |
||||||||||
Подставляя эти величины в общее соотношение неопределённостей (5.3.8), получим искомое конкретное соотношение неопределённостей между величинами x и px :
x |
p |
x, rms |
≥ |
h |
. |
(5.3.9) |
|
||||||
rms |
|
2 |
|
|
||
Напомним, что принцип неопределённостей Гайзенберга
(п/п. 1.4.3) применительно к тем же физическим величинам формулируется как «порядковое» неравенство
x px >≈ h.
300
В этом неравенстве не конкретизировано, что такое «неопределённость» с количественной точки зрения, и поэтому само неравенство носит характер порядковой оценки «снизу» произведения неопределённостей.
В соотношении неопределённостей (5.3.9) по определению
(5.3.4), (5.3.7) принято, что неопределённость случайной величины
— это её среднеквадратичное отклонение, значение которого может быть рассчитано точно для данного состояния микросистемы, если известна описывающая его волновая функция. Само же соотношение (5.3.9) даёт точную нижнюю границу произведения среднеквадратичных отклонений.
Выведенное соотношение неопределённостей показывает, что «одноимённые» координата и импульс микрочастицы никогда не могут иметь одновременно определённые значения. Это объясняется тем, что среднее значение i[xˆ, pˆ x ] не обращается в нуль ни в каком состоянии микрочастицы и всегда равно конечной величине −h.
Вместе с тем «разноимённые» координаты и импульсы, а также и любые импульсы, и любые координаты в соответствии с соотношением неопределённостей могут одновременно иметь определённые значения, т.к. соответствующие операторы коммутируют друг с другом. Например,
xrms yrms ≥ 0; xrms py, rms ≥ 0 ;
301
px, rms py, rms ≥ 0. |
(5.3.10) |
Задача 5.3.1. Выведите соотношение неопределённостей между энергией и импульсом:
|
|
h |
|
|
|
|
. |
|
|
Hrms |
px, rms ≥ |
|
|
∂Φ |
|
(5.3.11) |
|||
2 |
∂x |
||||||||
|
|
|
|
||||||
Задача 5.3.2. Выведите соотношение неопределённостей между энергией и координатой:
H |
|
x |
≥ |
h |
|
p |
|
|
. |
(5.3.12) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||
|
rms |
rms |
|
4m |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание. При решении задач 5.3.1, 5.3.2 воспользуйтесь выведенными ранее коммутационными соотношениями между операторами соответствующих величин (5.1.27), (5.1.28) (задачи
5.1.1, 5.1.2).
Вопросы для самопроверки
5.3.1.Выведите самостоятельно неравенство В. Гайзенберга.
5.3.2.Какому из основных принципов квантовой физики
придаёт количественный |
смысл следствие |
из неравенства |
В. Гайзенберга? |
|
|
5.3.3. Выведите |
самостоятельно |
соотношение |
неопределённостей между оператором координаты и кинетической энергии микрочастицы.
302