4.5.3. Доказательство второй теоремы П. Эренфеста
Докажем равенство (4.5.2).
Проддифференцируем по времени выражение для среднего значения импульса (4.5.22). Полученное соотношение содержит в правой части два слагаемых:
d |
|
|
= P +Q , |
|
px |
(4.5.23) |
|||
|
|
|
||
dt |
|
|||
где
|
h |
|
∞ |
∂ψ * ∂ψ dx ; |
|
|
P = |
|
∫ |
(4.5.24) |
|||
i |
||||||
|
−∞ |
∂t ∂x |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
h |
∞ |
∂2ψ |
|
||
Q = |
|
∫ψ *∂t∂x dx . |
(4.5.25) |
|||
i |
||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
Выражение (4.5.25) преобразуем путём интегрирования по частям:
|
h |
∂ψ |
|
∞ |
∞ |
∂ψ * ∂ψ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Q = |
|
ψ * |
∂t |
|
−∞ |
− ∫ |
∂x ∂t |
dx . |
(4.5.26) |
|
|
||||||||
|
i |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
270
В выражении (4.5.26) первое слагаемое в квадратных скобках равно нулю, т.к. нормированная волновая функция, а вместе с ней и её производная по времени обращается в нуль при x → ∞.
Сравнивая оставшийся вклад в Q (4.5.26) с P, убедимся, что Q = P*, так что из (4.5.23) имеем:
d |
|
|
= Q +Q *, |
|
px |
(4.5.27) |
|||
|
|
|
||
dt |
|
|||
где
|
h |
∞ |
∂ψ ∂ψ * dx . |
|
|
Q = − |
∫ |
(4.5.28) |
|||
i |
|||||
|
−∞ |
∂t ∂x |
|
||
|
|
|
|
Преобразуем выражение (4.5.28) для Q. Производную по времени от волновой функции выразим, используя уравнение Шрёдингера (4.5.7). В результате получим:
Q = R + S , |
(4.5.29) |
где
|
|
2 |
∞ |
∂ψ |
2 |
|
|
R = − |
h |
|
∫ |
* ∂ ψ2 dx ; |
(4.5.30) |
||
2m |
∂x |
||||||
|
−∞ |
∂x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
271
∞ |
∂ψ * |
|
|
|
S = ∫Φψ |
dx . |
(4.5.31) |
||
|
||||
−∞ |
∂x |
|
||
|
|
|
||
Тогда из (4.5.27), (4.5.29) с учётом(4.5.30), (4.5.31) получим:
d |
|
|
= R + R * +S + S *, |
|
px |
(4.5.32) |
|||
|
|
|
||
dt |
|
|||
причём
|
|
2 |
∞ |
2 |
|
||
R* = − |
h |
|
∫ |
∂ψ ∂ ψ2*dx ; |
(4.5.33) |
||
2m |
|||||||
|
−∞ |
∂x ∂x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
∂ψ |
|
|
||
S* = ∫Φψ * |
dx. |
(4.5.34) |
|||||
|
|||||||
−∞ |
|
|
∂x |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Преобразуем выражение для R* (4.5.33) путём интегрирования по частям:
|
h2 |
|
∂ψ * ∂ψ |
|
∞ |
∞ |
∂2ψ ∂ψ |
* |
|
|
||
|
|
|
||||||||||
R* = − |
|
|
∂x ∂x |
|
−∞ |
− ∫ |
∂x |
2 |
∂x |
dx . |
(4.5.35) |
|
|
|
|||||||||||
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В квадратных скобках выражения (4.5.35) первое слагаемое равно нулю (доказать это не так просто, как в предыдущих случаях: к доказательству требуется привлечь понятие плотности потока
272
вероятности, которое в данном курсе ещё не обсуждалось). Но тогда R* = −R , и из (4.5.27) имеем:
d |
|
|
= S + S *. |
|
px |
(4.5.36) |
|||
|
|
|
||
dt |
|
|||
Выражение в правой части соотношения (4.5.36) преобразуем
так:
∞ |
|
∂ψ * |
+ψ * |
∂ψ |
∞ |
∂(ψψ*) |
dx . (4.5.37) |
S + S* = ∫ |
Φ ψ |
∂x |
dx = |
∫Φ |
∂x |
||
−∞ |
|
|
∂x |
−∞ |
|
||
|
|
|
|
|
|
Вычисляя интеграл в правой части (4.5.37) по частям, получим:
∞ |
∂(ψψ*) dx = Φψψ * |
|
∞ |
∞ |
∂Φ dx. |
|
|
|
|||||
∫Φ |
|
− ∫ψ *ψ |
(4.5.38) |
|||
−∞ |
∂x |
|
−∞ |
−∞ |
∂x |
|
|
|
|
|
|
Первое слагаемое в выражении (4.5.38) равно нулю, а второе есть среднее значение динамической переменной −∂Φ/ ∂x .
Подставляя (4.5.37) с учётом (4.5.38) в (4.5.36), получим требуемое соотношение (4.5.2). Это и доказывает вторую теорему Эренфеста.
Как уже указывалось, теоремы Эренфеста можно сформулировать и доказать для трёхмерного случая. При доказательстве потребуются теоремы Грина из векторного анализа,
273