Значення критерію грубої похибки β
|
n |
β | ||
|
α = 0.05 |
α = 0.01 |
α = 0.001 | |
|
2 |
15.561 |
77.964 |
779.696 |
|
3 |
4.969 |
11.460 |
36.486 |
|
4 |
3.558 |
6.530 |
14.468 |
|
5 |
3.041 |
5.043 |
9.432 |
|
6 |
2.777 |
4.355 |
7.409 |
|
7 |
2.616 |
3.963 |
6.370 |
|
8 |
2.508 |
3.711 |
5.733 |
|
9 |
2.431 |
3.536 |
5.314 |
|
10 |
2.372 |
3.409 |
5.014 |
|
11 |
3.327 |
3.310 |
4.791 |
|
12 |
2.291 |
3.233 |
4.618 |
|
13 |
2.261 |
3.170 |
4.481 |
|
14 |
2.236 |
3.118 |
4.369 |
|
15 |
2.215 |
3.075 |
4.276 |
|
16 |
2.197 |
3.038 |
4.198 |
|
17 |
2.181 |
3.006 |
4.131 |
|
18 |
2.168 |
2.997 |
4.074 |
|
19 |
2.156 |
2.953 |
4.024 |
|
20 |
2.145 |
2.932 |
3.979 |
|
21 |
2.135 |
2.912 |
3.941 |
|
22 |
2.127 |
2.895 |
3.905 |
|
23 |
2.119 |
2.880 |
3.874 |
|
24 |
2.112 |
2.865 |
3.845 |
|
25 |
2.105 |
2.852 |
3.819 |
|
26 |
2.099 |
2.840 |
3.796 |
|
27 |
2.094 |
2.830 |
3.775 |
|
28 |
2.088 |
2.820 |
3.755 |
|
29 |
2.083 |
2.810 |
3.737 |
|
30 |
2.079 |
2.802 |
3.719 |
|
40 |
2.048 |
2.742 |
3.602 |
|
60 |
2.018 |
2.683 |
3.402 |
|
120 |
1.988 |
2.628 |
3.388 |
|
|
1.960 |
2.576 |
3.291 |
Таблиця 3
Значення t-критерію Стьюдента
-
f
p
0.90
0.95
0.99
0.995
0.999
1
6.3130
12.7060
63.6560
127.6560
636.619
2
2.9200
4.3020
9.9240
14.0890
31.599
3
2.35340
3.1820
5.8400
7.4580
12.924
4
2.13180
2.7760
4.6040
5.5970
8.610
5
2.01500
2.5700
4.0321
4.7730
6.863
6
1.9430
2.4460
3.7070
4.3160
5.958
7
1.8946
2.3646
3.4995
4.2293
5.4079
8
1.8596
2.3060
3.3554
3.8320
5.0413
9
1.8331
2.2622
3.2498
3.6897
4.7800
10
1.8125
2.2281
3.1693
3.5814
4.5869
11
1.7950
2.2010
3.1050
3.4960
4.4370
12
1.7823
2.1788
3.0845
3.4284
4.1780
13
1.7709
2.1604
3.1123
3.3725
4.2200
14
1.7613
2.1448
2.9760
3.3257
4.1400
15
1.7530
2.1314
2.9467
3.2860
4.0720
16
1.7450
2.1190
2.9200
3.2520
4.0150
17
1.7396
2.1098
2.8982
3.2224
3.9650
18
1.7341
2.1009
2.8784
3.1966
3.9216
19
1.7291
2.0930
2.8609
3.1737
3.8834
20
1.7247
2.0860
2.8453
3.1534
3.8495
21
1.7200
2.0790
2.8310
3.1350
3.8190
22
1.7117
2.0739
2.8188
3.1188
3.7921
23
1.7139
2.0687
2.8073
3.1040
3.7676
24
1.7109
2.0639
2.7969
3.0905
3.7454
25
1.7081
2.0595
2.7874
3.0782
3.7251
30
1.6973
2.0423
2.7500
3.0298
3.6460
40
1.6839
2.0211
2.7045
3.9712
3.5510
50
1.6759
2.0086
2.6778
3.9370
3.4060
60
1.6706
2.0003
2.6603
3.9146
3.4602
70
1.6689
1.9944
2.6479
3.8987
3.4350
80
1.6640
1.9900
2.6380
2.8870
3.4160
90
1.6620
1.9867
2.6316
2.8779
3.4019
100
1.6602
1.9840
2.6259
2.8707
3.3905
Приклад 1. При визначенні масової частки іонів цинку(ІІ) в крупі було отримано такі результати: 0,230; 0,239; 0,237; 0,235; 0,237 мг/кг. Зробити статистичну обробку результатів вимірювань.
Розв’язання. Сформуємо ряд за рангом: 0,230, 0,235, 0,237, 0,237, 0,239. Перевіримо крайні значення на можливі похибки (див. рівняння (3)):
.
Це значить, що найбільше і найменше значення в ряді, що виміряли, не є похибками.
Обчислимо середнє значення (див. рівняння (4)):
.
Обчислимо дисперсію (s2ω, див. рівняння (5)) і стандартне відхилення (sω, див. рівняння (6)):
.
І на завершення обчислимо довірчий інтервал
Відповідь: Результат аналізу крупи виражається довірчим інтервалом навколо середньої величини: [0,232 – 0,240], або ω = 0,236 ± 0,004.
Одна з задач, яку можна розв’язати з використанням статистичних методів − це задача про можливість об'єднання двох виборок, отриманих у різних умовах.
Наприклад, одну і ту ж характеристику − масову частку компонента в об’єкті, виміряно двома різними методами: x11, x12, x13,…, x1n; x21, x22, x23,…, x2m. Чи можна об’єднати вибірки в одну, яка має n + m значень?
Розвязання такої задачі передбачає відповіді на два запитання: ‑ чи є вибірки однорідні (виконані з однаковою точністю)? - чи вибірки не містять систематичних похибок?
Щоб
відповісти на ці питання обчислюють
середнє значення для кожної вибірки
1,
2
та дисперсії
,
.
Співвідношення
більшої дисперсії до меншої порівнюють
зі статистичним критерієм Фіщера –
F(n2-1,
n1-1,P)(див.
таблицю 4).
(9)
Якщо сіввідношення експериментальних дисперсій не перевищує значення критерію Фішера це значить, вибірки однорідні, а значення рівноточні.
Для перевірки можливої систематичної похибки за рівнянням (11) досліджують різницю між середніми значеннями двох виборок. Відношення цієї різниці до середньозваженого стандартного відхиленя (s12)не повинно перевищувати критерій стьюдента.
(10)
. (11)
Виконання умов за рівняннями (9) і (11) дозволяють об’єднати дві вибірки і обчислити для нової об’єднаної вибірки середнє значення і стандартне відхилення.
Приклад 2. Визначити, яка систематична похибка в результатах однієї з виборок не буде помічена при співставленні на об’єднання двох виборок: x1i = 2,39 2,33 2,32 2,39 2,32 x2 i= 2,36 2,40 2,37 2,39 2,30
Розв’язання.
Обчислимо середні
значення і стандартні відхилення для
обох виборок: 
=2,349
=2,363
sx1 =0,075sx2 = 0,075. Зрозуміло, що тест на однорідність вибірки прходять. Середньозважене стандартне відхилення залишиться таким же s12 =sx1 =sx2=0,075. Різниця між середніми значеннями двох виборок за рівнянням (11) повинна задовольняти умові
,
Різниця
двох середніх значень:
Δx12
=
.
Значить різниця Δxадд = Δxграничн - Δx12 = 0,095 може бути додана до всіх вимірних значень першої вибірки. Допустима від’ємна систематична похибка для першої вибірки Δxадд = Δxграничн + Δx12 = 0.123. Для другої вибрки допустимі систематичні похибки міняють знак.
Таким чином до всіх вимірних значень першої вибірки можна додати позитивну систематичну похибку Δxадд= 0,095 або негативну систематичну похибку Δxадд= -0,123.до всіх вимірних значень другої вибірки можна додати позитивну систематичну похибку Δxадд=0,123 або негативну систематичну похибку Δxадд= -0,095 і такі систематичні похибки при співставленні цих двох виборок не вдасться виявити за допомогою статистичних методів обробки.
Таблиця 4