Теорія похибок і статистична обробка результатів вимірювань

При проведенні експериментальних досліджень вимірювання повторюють кілька (n) разів – отримують паралельні значення вимірюваного параметру: x₁. x₂ …x_n; (n – число паралельних вимірювань). Ці значення близькі, але не співпадають, вони відрізняються один від одного. Різницю між виміряним значенням x_i і дійсним x_real називають абсолютною похибкою вимірювання або «абсолютним відхиленням»:

Δx_i = |x_i- x_real.| (1)

Оскільки відхилення x_i від x_real може бути зі знаком «+» або «-» абсолютну похибку обчислюють за модулем (абсолютним значенням). Кожний паралельний дослід має свою характерну абсолютну похибку. Щоб знайти відносну похибку, треба абсолютну розділити на значення вимірюваної величини:

Δx_відн.= Δx/ x_real ≈ Δx / x_i. (2)

Похибки бувають випадкові і систематичні.

Випадкова похибка – це складова похибки вимірювання, що змінюєть­ся випадковим чином при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж величини.

Випадкові похибки зобов’язані своїм походженням низці причин, дія яких неоднакова в кожному досліді і не може бути врахована. Вони мають різні значення навіть для вимірювань, виконаних однаково.

Систематична похибка – це складова похибки вимірювання, що залишається постійною або закономірно змінюється при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж величини.

Сукупність виміряних значень одного і того ж параметру – це вибірка або ряд. Якщо виміряні значення розташовані за рангом (зростаючий ряд x₁<x_2<…<x_n . або спадаючий x₁>x_2>…>x_n)_. такий ряд називають ранжированим рядом.

різницю між найбільшим і найменшим значеннями результатів спостережень називають розмахом варіювання (w = x_max – x_min). У зростаючому ранжиро­ва­ному ряді це – w = x_n - x₁.

Статистичну обробку результатів вимірювань починають із перевірки відповідності даних вибірки функціональної залежності нормального розподілу даних.

У деяких випадках виявляється, що результат одного вимі­ру різко відрізняється від результатів інших вимірів, вико­наних при тих же контрольованих умовах. У цьому випад­ку говорять про грубу похибку (промах у вимірюванні).

Для виявлення грубих промахів у вибірці відомо кілька різних статистичних критеріїв. Найпростіший серед них Q-критерій. Для перевірки крайніх значень у ранжированому ряді розраховують значення Q_{експеримент} (3) і порівнюють з табличним значенням Q_табл (n, P) (див. табл.1), де n – число паралельних вимірювань у вибірці, Р – довірча ймовірність. В аналітичній хімії прийнято використовувати довірчу ймовірність Р = 0,95. У біології, медицині частіше використовують довірчу ймовірність Р = 0,99.

;

. (3)

Якщо у вибірку попадає значення з великою похибкою X₁ або X_n – то це виміряне значення видаляють з вибірки і при статистічній обробі не враховують.

дійсним значенням вимірюваної величини, якщо воно невідоме до вимірювань, вважають середнє арифметичне з паралельних значень вимірювань

. (4)

Таблиця 1

Теоретичні значення q – критерію. При різних довірчих імовірностях р

n	Q( n. P )
	P = 0.90	p = 0.95	p = 0.99
3	0.89	0.94	0.99
4	0.68	0.77	0.89
5	0.56	0.64	0.76
6	0.48	0.56	0.70
7	0.43	0.51	0.64
8	0.48	0.55	0.68
9	0.44	0.51	0.64
10	0.41	0.48	0.60

Щоб знайти середнє значення абсолютної похибки, виконуюють такі обчислення:

• розраховують дисперсію значень вимірюваного параметра ( рівняння (5, 5а));

• розраховують стандартне відхилення (рів­нян­ня (6)).

(5)

(5a)

n –1 = f – ступінь свободи.

(6)

Величину s_x ще називають «середньоквадратичне відхилення» або «середньоквадратична похибка».

Коли відомі середнє значення і дисперсія, можна використати більш строгий підхід до виявлення грубих помилок – «промахів». Розраховють з вибірки експериментальних значень виміряного параметра значення β критерію для x_k = x_max, x_min або X₁, X_n з ранжированого ряду.

. (7)

де, α = 1−P – імовірність отримати «промах»;

Розраховане значення порівнюють із теоретичним значенням (див. таблицю 2).

У випадку, коли сумнівне значення параметра признається похибкою, його виключають із вибірки і по n-1 значенням обчислюють нові значення середнього, дисперсії та стандартного відхилення.

Використовуючи середнє значення і стандартне відхилення формують інтервал (довірчий інтервал) значень навколо середної величини, який з заданою наперед імовірністю (P = 0,95; 0,99 ) накриває дійсне значення вимірюваного параметра. При розрахунках граничних значень довірчого інтервалу використовують рівняння (8):

(8)

Значення t (P, n – 1) наведено в таблиці 3. Цей критерій називають «t-критерій Стьюдента». «Стьюдент» – псевдонім англійського математика Госсета.

Таблиця 2