Глава 8 развертки поверхностей

-------------------------------------------------------------------------------------------------

8.1. Общие понятия о развертывании поверхностей

Будем считать, что поверхность представляет собой гибкую, но нерастяжимую оболочку. Если при этом можно разгибая, совместить ее с плоскостью без разрывов и складок, то такую поверхность называют развертывающейся. Фигура на плоскости, в которую преобразуется поверхность в результате такой процедуры, называется разверткой поверхности.

Нужно отметить, что не все поверхности допускают подобное преобразование. Ниже будет показано, какие типы поверхностей возможно совместить с плоскостью при помощи разгибания, без растяжения и сжатия.

Построение разверток поверхностей имеет практическое значение при конструировании изделий из листового материала. Это обшивки самолетов и судов, всевозможные резервуары и трубопроводы, изделия швейной и кожевенной промышленности. Часто на практике приходится изготавливать развертки (выкройки) не только для развертывающихся поверхностей, но и для тех поверхностей, которые считаются не развертывающимися. В этом случае не развертывающуюся поверхность разбивают на части, которые приближенно заменяют развертывающимися поверхностями, и строят развертки этих частей.

Более строгое определение развертывающейся поверхности и ее развертки можно сформулировать так:

поверхность называется развертывающейся, если между точками поверхности и ее развертки можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором сохраняются длины линий, расположенных на поверхности, величины углов между линиями и площади фигур, ограниченных замкнутыми линиями.

На рисунке 164 показано, что длина дуги АВ поверхности равна длине дуги А*В* на развертке, угол ψ равен углу ψ*, а площадь ΔCDE на поверхности равна площади ΔC*D*E* на развертке. Указанные свойства вытекают из представления поверхности в виде нерастяжимой пленки, поэтому сохраняются все эти свойства.

Когда некоторой кривой линии MN на поверхности соответствует на развертке отрезок прямой M*N*, то кривая линия MN будет кратчайшей из всех линий на поверхности, проведенных между точками M и N. Такие кратчайшие линии на поверхности называют геод езическими линиями.

Отметим, какие поверхности относятся к числу развертывающихся:

• многогранные поверхности. Разверткой многогранника является плоская фигура, которая получается последовательным совмещением с одной и той же плоскостью всех ее граней;

• те линейчатые поверхности, у которых касательная плоскость касается поверхности во всех точках ее прямолинейной образующей. Иными словами у развертывающейся линейчатой поверхности касательная плоскость во всех точках одной и той же образующей постоянна. Если же у линейчатой поверхности в различных точках ее прямолинейной образующей разные касательные плоскости, то такая поверхность не развертывается и называется косой поверхностью.

С ледовательно, к числу развертывающихся поверхностей относятся (рисунок 165) цилиндрические, конические и торсы.

Для этих поверхностей строят приближенные развертки, поскольку поверхности в процессе построения развертки заменяются (апроксимируются) вписанными или описанными многогранниками. Точные развертки этих многогранных поверхностей и принимаются за приближенные развертки развертываемых поверхностей.

Все остальные кривые поверхности не развертываются на плоскость. При необходимости изготовления таких поверхностей из листового материала, их приближенно заменяют развертывающимися поверхностями и строят так называемые условные развертки.