4.4.3. Вращение плоскости вокруг проецирующей прямой

Т ак как плоскость определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой, то вращение плоскости сводится к вращению трех точек ее определяющих.

На рисунке 82 плоскость Б ( ΔАВС) общего положения повернута вокруг фронтально проецирующей прямой i на угол ω по направлению движения часовой стрелки.

Повернув каждую из точек А,В и С на один и тот же угол ω в заданном направлении, получим новые положения точек А1, В1 и С1 определяющих новое положение плоскости после поворота.

Поскольку длины отрезков при вращении сохраняются (см. выше), можно повернуть одну из сторон (например АВ) упрощенным способом, описанным в пункте 4.4.2, при этом будут построены новые положения сразу двух вершин треугольника – А1 и В1. Новое положение третьей вершины можно найти из равенства треугольников ΔАВС=ΔА1В1С1 на виде спереди (фронтальной проекции).

4.4.4. О возможностях способов вращения и дополнительного проецирования

Вращением вокруг проецирующих прямых можно решить все четыре основные задачи, решаемые способом дополнительного проецирования. Однако эти решения получаются более громоздкими, поэтому для примера рассмотрим только две из них – первую и третью задачи.

Пример 1 (первая задача). Превратить прямую общего положения т в прямую уровня (рисунок 83).

П овернем прямую т до положения фронтали. За ось вращения примем горизонтально проецирующую прямую i, проходящую через произвольную точку 1 прямой т. при повороте прямой т эта точка будет неподвижна и для поворота прямой останется повернуть лишь вторую ее точку - 2. Так как горизонтальная проекция прямой т в своем новом положении должна быть перпендикулярна линиям связи (см. 4.3), то этим определяется угол поворота точки 2. Построив новые положения проекций точки 2 (21), тем самым определим прямую т в положении фронтали. На виде спереди (фронтальной проекции) отрезок 1-21 прямой т1 проецируется в натуральную величину, а угол α – истинный угол наклона прямой т к горизонтальной плоскости проекций.

Д ля поворота прямой до положения горизонтали нужно за ось вращения принять фронтально проецирующую прямую, проведенную через произвольную точку заданной прямой.

Пример 2 (третья задача). Превратить плоскость общего положения Д ( ΔАВС) в проецирующую плоскость (рисунок 84).

Повернем плоскость Д, например, до положения фронтально проецирующей плоскости. Для этого ее нужно повернуть вокруг горизонтально проецирующей прямой i так, чтобы горизонтали плоскости Д стали фронтально проецирующими прямыми. Поскольку при этом на виде сверху (на горизонтальной проекции) некоторая горизонталь h займет положение h1, параллельное линиям связи, отсюда определится и угол поворота (как угол между «старым» и «новым» положениями горизонтали). Так как ось вращения проходит через одну из вершин треугольника АВС, то на этот угол остается повернуть лишь две оставшиеся вершины – А и С. Новые положения этих вершин А1 и С1 совместно с неподвижной вершиной В определят новое фронтально проецирующее положение плоскости Д. Фронтальные проекции точек плоскости Д расположатся на одной прямой, в которую “выродится” плоскость на виде спереди. Угол α между проекцией плоскости Д и прямой перпендикулярной линиям связи – есть натура угла наклона плоскости Д к горизонтальной плоскости проекций.

Для поворота плоскости Д до положения горизонтально проецирующей плоскости, нужно за ось вращения принять фронтально проецирующую прямую, проведенную через какую-нибудь точку плоскости.

Рассмотрим еще два примера применения способа вращения вокруг проецирующих прямых.

П

Рисунок 85

Рисунок 86

ример 3. На прямой общего положения α от ее точки А отложить отрезок АВ заданной длины е (рисунок 85).

Возьмем на прямой α произвольную точку 1 (не совпадающую с точкой А). Повернем прямую α вокруг горизонтально проецирующей прямой i, проходящей через точку А, до положения фронтали. Так как на виде спереди (фронтальной проекции) в этом случае имеем натуру отрезка А-1, то, отложив на натуре отрезка А-1 отрезок АВ заданной длины е и, произведя обратный поворот, найдем на прямой α проекции искомой точки В. Нужно иметь в виду, что отрезок длиной е можно отложить на прямой α от точки А и в другую сторону.

Пример 4. Повернуть точку М вокруг горизонтально проецирующей прямой i до совмещения ее с плоскостью Б(α//b) (рисунок 86).

При вращении вокруг прямой i точка М будет описывать окружность в горизонтальной плоскости Г. Поэтому точка М окажется в плоскости Б тогда, когда она будет находиться на линии пересечения плоскостей Б и Г, т.е. на горизонтали h плоскости Б. Проведя на виде сверху (горизонтальной проекции) окружность радиуса iМ, получим в пересечении ее с горизонтальной проекцией горизонтали h два новых положения точки М – М1 и М2.

В нашем случае горизонталь h пересекает окружность (траекторию вращения точки М) дважды, т.е. задача имеет два решения. Если бы горизонталь h касалась окружности – задача имела бы одно решение, а если бы проходила вне ее – это означало бы отсутствие решения.