Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
УЧЕБНИК по НГ.doc
Скачиваний:
21
Добавлен:
11.11.2019
Размер:
7.51 Mб
Скачать

5.1.2. Ортогональная проекция окружности

В конструкторской практике довольно часто встречается построение проекций окружности, поэтому выясним подробнее некоторые свойства ортогональной проекции окружности.

Известно, что параллельной проекцией окружности является кривая, которую называют эллипсом. Так, проецируя окружность с центром в точке О, лежащую в плоскости общего положения Б например на плоскость Г, получим ее проекцию в виде эллипса с центром в точке Ог (рисунок 94).

Р ассмотрим два взаимно перпендикулярных диаметра окружности: АВ – являющегося линией уровня плоскости Б и CD – совпадающего с линией наибольшего уклона плоскости Б к плоскости Г. Диаметр АВ спроецируется на плоскость Г без искажения в большую ось эллипса АгВг (АВ= АгВг), а диаметр CD – в малую ось эллипса CгDг. Если принять угол наклона плоскости Б к плоскости Г равным φ, то CгDг=СD cosφ. Оси эллипса взаимно перпендикулярны, поскольку являются проекциями перпендикулярных диаметров окружности, один из которых параллелен плоскости проекций.

Таким образом, большая ось эллипса, являющегося ортогональной проекцией окружности, лежащей в некоторой плоскости Б, параллельна проекции прямой уровня этой плоскости и равна диаметру окружности, а малая ось – параллельна прямой наибольшего уклона плоскости Б и равна диаметру окружности, помноженному на косинус угла наклона плоскости Б к плоскости проекций.

Можно дать и другой признак для определения направления осей эллипса. Если построить перпендикуляр n к плоскости Б (рисунок 94), то он, будучи перпендикулярен ко всякой прямой этой плоскости, будет перпендикулярен и диаметру АВ окружности. Не будем забывать, что диаметр АВ является линией уровня (горизонталью) плоскости Б. Поэтому ортогональная проекция нормали n на плоскость Г будет перпендикулярна проекции диаметра АВ на эту же плоскость (см. 3.2). То есть проекция нормали к плоскости Б параллельна малой оси эллипса.

Рассмотрим примеры построения проекций окружности на комплексном чертеже, основанные на вышеописанных свойствах ее ортогональной проекции.

П ример 1. Построить окружность радиуса R с центром в точке О лежащую во фронтально проецирующей плоскости Д (рисунок 95).

Фронтальной проекцией окружности будет в данном случае отрезок прямой длиной 2R, а горизонтальной – эллипс. Учитывая рассмотренные свойства ортогональной проекции окружности, большая ось эллипса CD будет параллельна горизонтальной проекции горизонтали (в нашем примере – фронтально проецирующей прямой) плоскости Д и равна диаметру окружности 2R. Малая ось эллипса АВ будет параллельна горизонтальной проекции линии наибольшего уклона плоскости Д (в данном примере – фронтали). Величина малой оси эллипса определяется горизонтальными проекциями точек А и В. Ее можно определить и как описано выше: АВ=2R cosφ.

Зная положение и величины большой и малой осей эллипса, можно достроить любое число принадлежащих ему точек.

П ример 2. В плоскости общего положения Е (hхf) построить окружность радиуса R с центром в точке О (рисунок 96).

Если задана, например, фронтальная проекция центра окружности О, то , «привязав» точку О к плоскости с помощью прямой О-1 (горизонтали), легко находим ее горизонтальную проекцию. С направлением горизонтальной проекции горизонтали О-1 совпадает большая ось эллипса АВ=2R. Определив точки А и В на виде сверху (горизонтальной проекции), находим их и на виде спереди (фронтальной проекции).

Малую ось эллипса CD найдем сначала на горизонтальной проекции линии наибольшего уклона О-2. Для этого определим натуральную величину отрезка О-2 способом прямоугольного треугольника О-2-О*. Если теперь на гипотенузе О*-2 отложить от точки О* величину радиуса R, то при помощи точки D* легко находится точка D, определяющая величину малой полуоси эллипса OD. Точка С симметрична точке D относительно центра О. В силу принадлежности линии наибольшего уклона О-2, точки C и D легко определяются на фронтальной проекции (виде спереди).

Д

Рисунок 96

ополнительные точки для уточненного построения эллипса можно определить, например, при помощи параллелограмма, построенного на осях АВ и CD, как на его средних линиях.