- •Основы начертательной геометрии
- •Принятые обозначения
- •Предисловие
- •Введение
- •Предмет начертательной геометрии
- •Хронология развития начертательной геометрии
- •Параллельное проецирование
- •Основные свойства параллельного проецирования
- •Прямоугольное проецирование
- •1.2. Комплексный чертеж точки
- •Пространственная двух проекционная модель
- •Комплексный чертеж
- •Отказ от фиксированных плоскостей проекций
- •Комплексный чертеж прямой
- •Задание прямой
- •Профильная прямая
- •1.4. Комплексный чертеж плоскости
- •Комплексный чертеж из трех ортогональных проекций
- •Третья (профильная) плоскость проекций
- •Трех видовой комплексный чертеж
- •Прямые и плоскости частного положения
- •Термины и определения
- •Проецирующие прямые
- •Проецирующие плоскости
- •Плоскости уровня
- •Прямые уровня
- •Прямые частного положения в плоскости
- •1.7. Условия видимости на комплексном чертеже
- •1.8. Основные позиционные задачи
- •1.8.1. Термины и определения
- •1.8.2. Взаимное расположение двух точек
- •1.8.3. Взаимное расположение точек и прямой
- •1.8.4. Взаимопринадлежность точки и прямой. Деление отрезка в заданном отношении
- •1.8.5. Взаимное расположение двух прямых
- •1.8.6. Взаимное расположение точки и плоскости. Взаимопринадлежность точки и плоскости
- •1.9. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •1.10. Взаимное расположение двух плоскостей
- •Глава 2 изображение многогранников и позиционные задачи на многогранники
- •2.1. Изображение многогранников
- •2.2. Пересечение многогранника с плоскостью
- •2.3. Пересечение многогранника с прямой
- •2.4. Взаимное пересечение многогранников
- •Глава 3 метрические задачи. Перпендикулярность прямых и плоскостей
- •3.1. Определение натуральной величины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций
- •3.2. Ортогональная проекция прямого угла
- •3.3. Прямые наибольшего уклона плоскости
- •3.4. Перпендикулярность прямой и плоскости
- •3.5. Взаимная перпендикулярность плоскостей
- •3.6. Взаимная перпендикулярность прямых общего положения
- •Глава 4 преобразование комплексного чертежа
- •4.1. О преобразовании комплексного чертежа
- •4.2. Основы способа дополнительных видов
- •4.3. Основные задачи, решаемые с помощью способа дополнительных видов
- •4.4. Способ вращения вокруг проецирующей прямой
- •4.4.1. Вращение точки вокруг проецирующей прямой
- •4.4.2. Вращение прямой линии вокруг проецирующей прямой
- •4.4.3. Вращение плоскости вокруг проецирующей прямой
- •4.4.4. О возможностях способов вращения и дополнительного проецирования
- •4.5. Способ вращения вокруг прямой уровня
- •4.5.1. Вращение точки
- •4.5.2. Вращение плоскости вокруг прямой уровня
- •4.5.3. Измерение углов
- •4.5.4. Построение в плоскости общего положения фигуры заданной формы и размеров
- •5.1.2. Ортогональная проекция окружности
- •5.1.3. Пространственные кривые
- •5.2. Образование, задание и изображение поверхностей
- •5.2.1. Образование поверхностей
- •5.2.2. Задание поверхности на комплексном чертеже
- •Классификация поверхностей
- •Поверхности вращения
- •Поверхности, образуемые вращением прямой линии
- •5.3.2. Поверхности, образуемые вращением окружности
- •5.3.3. Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка
- •5.4. Линейчатые поверхности
- •5.4.1. Линейчатые поверхности с одной направляющей
- •5.4.2. Линейчатые поверхности с двумя направляющими
- •5.4.3. Линейчатая поверхность с тремя прямолинейными направляющими
- •5.5. Поверхности второго порядка
- •5.6. Винтовые поверхности
- •Циклические и топографические поверхности
- •5.7.1. Циклические поверхности
- •5.7.2. Топографические поверхности
- •6.2. Примеры построения линии пересечения поверхности с плоскостью
- •6.2.1. Особые случаи пересечения поверхности с плоскостью
- •Пересечение поверхности с прямой линией
- •6.3.1. Основной способ определения точек пересечения
- •6.3.2. Частные случаи построения точек пересечения
- •6.3.3. Косоугольное проецирование при построении точек пересечения
- •Плоскости, касательные к поверхностям
- •Глава 7 взаимное пересечение поверхностей
- •7.1. Способы построения линии пересечения двух поверхностей
- •7.2. Способ вспомогательных проецирующих плоскостей
- •7.2.1. Общий случай применения способа
- •7.2.2. Частные случаи пересечения
- •7.3. Способ вспомогательных плоскостей общего положения
- •7.4. Способ вспомогательных сфер
- •7.4.1. Способ концентрических сфер
- •7.4.2. Способ эксцентрических сфер
- •7.5. Взаимное пересечение поверхностей второго порядка. Особые случаи пересечения
- •Глава 8 развертки поверхностей
- •8.1. Общие понятия о развертывании поверхностей
- •8.2. Способы построения разверток
- •8.2.1. Способ треугольников (триангуляции)
- •8.2.2. Способ «нормального» сечения
- •8.2.3. Построение условных разверток не развертывающихся поверхностей
- •9.1.2. Показатели искажения по аксонометрическим осям. Виды аксонометрии
- •9.1.3. Основное предложение аксонометрии
- •9.2. Ортогональная аксонометрическая проекция
- •9.2.1. Основные свойства ортогональной аксонометрии
- •9.2.2. Ортогональная аксонометрия окружности
- •9.3. Стандартные аксонометрические проекции
- •9.3.1. Ортогональная изометрия
- •9.3.2. Ортогональная диметрия
- •9.3.3. Косоугольная фронтальная диметрия
- •9.4. Построение стандартных аксонометрических проекций
- •10.1.2. Техническое обеспечение компьютерной графики
- •10.1.3. Программное обеспечение компьютерной графики
- •10.1.4. Компьютерная графика в тгту
- •Содержание
- •Глава 1 комплексный чертеж точки, прямой и плоскости. Основные позиционные задачи
- •Глава 5 кривые линии и поверхности
5.1.2. Ортогональная проекция окружности
В конструкторской практике довольно часто встречается построение проекций окружности, поэтому выясним подробнее некоторые свойства ортогональной проекции окружности.
Известно, что параллельной проекцией окружности является кривая, которую называют эллипсом. Так, проецируя окружность с центром в точке О, лежащую в плоскости общего положения Б например на плоскость Г, получим ее проекцию в виде эллипса с центром в точке Ог (рисунок 94).
Р ассмотрим два взаимно перпендикулярных диаметра окружности: АВ – являющегося линией уровня плоскости Б и CD – совпадающего с линией наибольшего уклона плоскости Б к плоскости Г. Диаметр АВ спроецируется на плоскость Г без искажения в большую ось эллипса АгВг (АВ= АгВг), а диаметр CD – в малую ось эллипса CгDг. Если принять угол наклона плоскости Б к плоскости Г равным φ, то CгDг=СD cosφ. Оси эллипса взаимно перпендикулярны, поскольку являются проекциями перпендикулярных диаметров окружности, один из которых параллелен плоскости проекций.
Таким образом, большая ось эллипса, являющегося ортогональной проекцией окружности, лежащей в некоторой плоскости Б, параллельна проекции прямой уровня этой плоскости и равна диаметру окружности, а малая ось – параллельна прямой наибольшего уклона плоскости Б и равна диаметру окружности, помноженному на косинус угла наклона плоскости Б к плоскости проекций.
Можно дать и другой признак для определения направления осей эллипса. Если построить перпендикуляр n к плоскости Б (рисунок 94), то он, будучи перпендикулярен ко всякой прямой этой плоскости, будет перпендикулярен и диаметру АВ окружности. Не будем забывать, что диаметр АВ является линией уровня (горизонталью) плоскости Б. Поэтому ортогональная проекция нормали n на плоскость Г будет перпендикулярна проекции диаметра АВ на эту же плоскость (см. 3.2). То есть проекция нормали к плоскости Б параллельна малой оси эллипса.
Рассмотрим примеры построения проекций окружности на комплексном чертеже, основанные на вышеописанных свойствах ее ортогональной проекции.
П ример 1. Построить окружность радиуса R с центром в точке О лежащую во фронтально проецирующей плоскости Д (рисунок 95).
Фронтальной проекцией окружности будет в данном случае отрезок прямой длиной 2R, а горизонтальной – эллипс. Учитывая рассмотренные свойства ортогональной проекции окружности, большая ось эллипса CD будет параллельна горизонтальной проекции горизонтали (в нашем примере – фронтально проецирующей прямой) плоскости Д и равна диаметру окружности 2R. Малая ось эллипса АВ будет параллельна горизонтальной проекции линии наибольшего уклона плоскости Д (в данном примере – фронтали). Величина малой оси эллипса определяется горизонтальными проекциями точек А и В. Ее можно определить и как описано выше: АВ=2R cosφ.
Зная положение и величины большой и малой осей эллипса, можно достроить любое число принадлежащих ему точек.
П ример 2. В плоскости общего положения Е (hхf) построить окружность радиуса R с центром в точке О (рисунок 96).
Если задана, например, фронтальная проекция центра окружности О, то , «привязав» точку О к плоскости с помощью прямой О-1 (горизонтали), легко находим ее горизонтальную проекцию. С направлением горизонтальной проекции горизонтали О-1 совпадает большая ось эллипса АВ=2R. Определив точки А и В на виде сверху (горизонтальной проекции), находим их и на виде спереди (фронтальной проекции).
Малую ось эллипса CD найдем сначала на горизонтальной проекции линии наибольшего уклона О-2. Для этого определим натуральную величину отрезка О-2 способом прямоугольного треугольника О-2-О*. Если теперь на гипотенузе О*-2 отложить от точки О* величину радиуса R, то при помощи точки D* легко находится точка D, определяющая величину малой полуоси эллипса OD. Точка С симметрична точке D относительно центра О. В силу принадлежности линии наибольшего уклона О-2, точки C и D легко определяются на фронтальной проекции (виде спереди).
Д
Рисунок 96