Глава 7 взаимное пересечение поверхностей

-------------------------------------------------------------------------------------------------

7.1. Способы построения линии пересечения двух поверхностей

В общем случае линия пересечения двух поверхностей представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на несколько частей. Эти части могут быть и плоскими кривыми.

Линию пересечения поверхностей обычно строят по ее отдельным точкам. Общим способом построения этих точек является способ поверхностей-посредников. Суть способа в следующем. Обе данные поверхности пересекаются вспомогательной поверхностью; затем определяются линии пересечения данных поверхностей и вспомогательной поверхности, после чего на пересечении этих линий определяются точки, принадлежащие одновременно обеим данным поверхностям, т.е. их линии пересечения.

Чаще всего в качестве поверхностей-посредников применяют плоскости или сферы. Исходя из этого различают следующие способы построения точек линии пересечения двух поверхностей:

• способ вспомогательных плоскостей, разделяющийся на способы вспомогательных проецирующих плоскостей и вспомогательных плоскостей общего положения;

• способ вспомогательных сфер, разделяющийся на способы концентрических и эксцентрических сфер.

Применение того или иного способа зависит от типа данных поверхностей и их взаимного расположения.

Способ вспомогательных проецирующих плоскостей применяют тогда, когда обе поверхности можно пересечь по графически простым линиям (прямым или окружностям) некоторой совокупностью проецирующих плоскостей, в частности плоскостями уровня.

Способ вспомогательных плоскостей общего положения применяют при построении линии пересечения конических (пирамидальных) и цилиндрических (призматических) поверхностей общего вида.

Способ вспомогательных концентрических сфер применяют для построения точек линии пересечения поверхностей вращения при соблюдении следующих условий:

• поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную какой-либо плоскости проекций;

• каждая из поверхностей содержит семейство окружностей, по которым ее могут пересекать вспомогательные сферы, общие для обеих поверхностей;

• оси поверхностей вращения пересекаются в некоторой точке.

Способ вспомогательных эксцентрических сфер применяют для построения точек линии пересечения поверхностей вращения при соблюдении почти тех же условий, кроме последнего:

• оси поверхностей вращения скрещиваются.

В тех случаях, когда линия пересечения поверхностей второго порядка распадается на плоские кривые и заранее известен вид кривых, можно построить эти кривые по их основным элементам, не прибегая к трудоемкому построению линии пересечения по точкам.

Если хотя бы одна из пересекающихся поверхностей является проецирующей поверхностью, то построение линии пересечения упрощается, поскольку в этом случае одна из проекций линии пересечения уже имеется на чертеже – она совпадает с изображением «вырожденной» в линию поверхности. Поэтому при пересечении некоторой поверхности с цилиндрической или призматической поверхностями полезным бывает предварительное преобразование последних в проецирующие.

Независимо от способа построения линии пересечения, следует соблюдать определенную последовательность нахождения точек этой линии. У линии пересечения поверхностей различают опорные и случайные точки (как и в случае пересечения поверхности с плоскостью, см. 6.1).

Сразу нужно сказать, что проекции линии пересечения всегда находятся в пределах площади наложения одноименных проекций пересекающихся поверхностей.

Построение линии пересечения начинают с нахождения опорных точек. Они позволяют определить пределы расположения проекции линии пересечения и зоны, где имеет смысл находить случайные точки для более точного построения линии пересечения.

Определение видимости линии пересечения проводят отдельно для каждого участка, ограниченного точками видимости. Видимость участка совпадает с видимостью любой случайной точки этого участка.