7.3. Способ вспомогательных плоскостей общего положения

Как отмечалось ранее, указанный способ рекомендуется применять при построении линии пересечения конических и цилиндрических поверхностей общего вида, а также поверхностей пирамид и призм.

Вспомогательные секущие плоскости выбирают так, чтобы они пересекали обе поверхности по их образующим. Поскольку данные поверхности являются поверхностями общего вида, то и секущие плоскости также будут плоскостями общего положения.

В случае пересечения двух конусов эти плоскости должны проходить через прямую, соединяющую их вершины.

При пересечении конической и цилиндрической поверхностей вспомогательные секущие плоскости должны проходить через прямую, проведенную через вершину конуса и параллельную образующим цилиндра (рисунок 151).

В случае пересечения двух цилиндрических поверхностей вспомогательные плоскости должны быть параллельны некоторой плоскости параллелизма, определяемой двумя пересекающимися прямыми, параллельными образующим цилиндрических поверхностей.

При указанном выборе вспомогательных поверхностей они пересекут обе заданные поверхности по их образующим. Точки пересечения этих образующих и будут точками линии пересечения поверхностей.

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 1. Построить линию пересечения конической и цилиндрической поверхностей общего вида (рисунки 151, 152).

Применим дополнительное параллельное проецирование по направлению s, параллельному образующим цилиндра. Строим на плоскости Г дополнительную проекцию вершины конуса Т, через которую пройдут дополнительные проекции всех образующих конуса.

Сначала проведем дополнительные проекции Т-1, Т-2 и Т-3 крайних образующих конуса, на пересечении которых с дополнительной проекцией цилиндра получаем дополнительные проекции точек линии пересечения А=В, С и D. Проведя через эти проекции обратные лучи до пересечения с соответствующими горизонтальными проекциями крайних образующих Т-1, Т-2 и Т-3, получим горизонтальные проекции А, В, С и D точек линии пересечения. Фронтальные проекции указанных точек легко строятся при помощи тех же образующих конуса Т-1, Т-2 и Т-3.

Т еперь внутри угла, определяемого дополнительными проекциями крайних образующих конуса, проводим дополнительные проекции промежуточных (случайных) образующих конической поверхности. На пересечении их с дополнительной проекцией цилиндра на плоскости Г получаем дополнительные проекции случайных точек линии пересечения.

При определении случайных точек линии пересечения предварительно необходимо построить ее точки видимости. Для этого нужно внутри указанного угла провести дополнительные проекции контурных и тех образующих конуса, которые пересекаются с контурными образующими цилиндра.

На нашем примере показано построение дополнительных проекций промежуточных образующих конуса Т-4 и Т-5, на пересечении которых с дополнительной проекцией цилиндра на плоскость Г находятся дополнительные проекции E=F и G=H точек линии пересечения. Обратным проецированием строим основные проекции указанных точек. Нужно отметить, что если точки G и H являются случайными, то точки E и F- точки видимости для цилиндрической поверхности на виде спереди (фронтальной проекции).

Последовательность соединения отдельных точек линии пересечения поверхностей легко устанавливается по ее дополнительной проекции: C-G-A-E-D-F-B-H-C.

Определение видимости линии пересечения производится по ее отдельным участкам, заключенным между точками видимости. При этом нужно определять видимость какой-либо случайной точки рассматриваемого участка. Видимой будет та точка, которая принадлежит видимым образующим обеих поверхностей.

В заключение следует отметить, что если основания поверхностей в некоторой предлагаемой задаче будут располагаться в разных плоскостях, то в качестве плоскости для дополнительного проецирования следует выбрать плоскость одного из оснований поверхностей. Остальные рассуждения и построения будут схожи с описанным случаем.