9.3.2. Ортогональная диметрия

Тогда как существует только одна ортогональная изометрия, ортогональных диметрий можно построить бесчисленное множество. Самая простая, распространенная и утвержденная в ГОСТ 2.317-69 диметрия получается, если u=w и v=u/2. Отсюда следует, что две натуральные координатные оси (x и z) одинаково наклонены к картинной плоскости П', т.е. α=γ.

Из равенства этих углов вытекает равенство отрезков О'Х'=O'Z' (см. рисунок 180). При этом треугольник следов X'Y'Z' будет равнобедренным (равными сторонами будут стороны X'Y' и Y'Z').

Ранее (в пункте 45.3) мы выяснили, что действительные показатели искажения по осям х и z в ортогональной диметрии равны u = w = 0.94, а по оси у v = 0.47. В приведенной диметрии

U = W = 1, V = 0.5

Коэффициент приведения при этом равен m=U/u=1/ 0.94 ≈ 1.06.

Это означает, что в «приведенной» ортогональной диметрии изображение получается увеличенным в 1.06 раза. Т.е. масштаб такого аксонометрического изображения М=1,06:1.

Определим взаимное расположение аксонометрических осей. Поскольку треугольник следов X'Y'Z' равнобедренный (рисунок 183), то его высота AY' является также и медианой, т.е. X'A=AZ'.

Из прямоугольного треугольника O'AZ' имеем:

sin δ = AZ' / O'Z' = X'Z' / 2O'Z'.

Выразим оба члена этого соотношения через отрезок OZ' натуральной координатной оси z. Так как равнобедренный треугольник X'O'Z' является проекцией прямоугольного равнобедренного треугольника X'OZ' (см. рисунок 180), то X'Z'=OZ' √2. Тогда:

O'Z = w OZ', но w=(2√2) / 3

поэтому O'Z' = (2√2) / 3 OZ'.

Отсюда 2O'Z'=(4√2)/3 OZ', значит sinδ=(OZ'√2) / [(4√2)/3 OZ']=3/4.

По найденному значению sinδ определим уклоны диметрических осей х' и у' относительно стороны X'Y' треугольника следов (рисунок 183), другими словами – определим tg ε и tg η.

Видно, что tg ε = tg (2δ – 90°) = ctg 2δ = [(tg²δ)² – 1] / 2 tgδ

Но так как tgδ = sinδ / √(1-sin²δ) = (3/4) / √(1-9/16) = 3/√7 ,

то tg ε= (9/7-1) / (6/√7) = 1 / (3√7) ≈ 7/8.

Исходя из этого, получаем следующий способ построения аксонометрических осей в ортогональной диметрии. Через некоторую точку О' проводим вспомогательную прямую, перпендикулярную к выбранной вертикальной (всегда) оси z' (рисунок 184). По обе стороны от точки О' на этой прямой откладываем по восемь произвольной длины, но равных между собой отрезков. От левой конечной точки откладываем вертикально вниз один такой же отрезок, а от правой конечной точки откладываем вниз семь таких же отрезков. Соединив вновь полученные точки с точкой О', получим направление аксонометрических осей x' и y'.

Построение эллипсов, изображающих окружности, лежащие в координатных и параллельных им плоскостях, выполняется следующим образом.

К ак и в изометрии, малые оси эллипсов параллельны аксонометрическим проекциям осей, отсутствующим в их (эллипсов) плоскости, а большие оси эллипсов перпендикулярны малым осям (рисунок 185).

Большая ось каждого эллипса в «приведенной» диметрии равна 1.06d . Для определения малых осей эллипсов необходимо вычислить показатели их искажения. На основании второго из соотношений (3) и соотношений (4) и с учетом коэффициента приведения m=1.06 получим для двух координатных плоскостей (xOy и xOz) следующие величины малых осей:

md√(1-w²) или md√(1-u²)=1.06d √(1-8/9) ≈ 0.35d.

Для координатной плоскости xOz величина малой оси будет:

md√(1-v²)=1.06d √(1-2/9) ≈ 0.95d.