1.8. Основные позиционные задачи

1.8.1. Термины и определения

Позиционными называют задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур.

К таким задачам относятся задачи на взаимопринадлежность (построение точки на линии или поверхности, проведение линии на поверхности или поверхности через заданные линии и другие) и задачи на пересечение (пересечение линии с плоскостью и поверхностью, пересечение плоскости с плоскостью и поверхностью, пересечение поверхностей).

Различают «прямые» и «обратные» позиционные задачи. В прямых задачах необходимо построить чертежи оригиналов, расположенных определенным образом относительно друг друга. В обратных позиционных задачах по имеющемуся чертежу определяется взаимное расположение точек, прямых и плоскостей относительно друг друга.

1.8.2. Взаимное расположение двух точек

Возможно всего два варианта расположения двух точек в пространстве: точки совпадают или не совпадают.

Если две точки совпадают, то совпадают и все их проекции. Когда точки не совпадают в пространстве, то их проекции могут:

• не совпадать на всех проекциях (рисунок 28а);

• не совпадать хотя бы на одной проекции (рисунок 28б, в).

П

Рисунок 28

ри несовпадении точек в пространстве возникает вопрос: как они расположены относительно друг друга?

Рассматривая чертеж (рисунок 28а), определяем, что точка А расположена левее точки В на величину a, ближе точки В на величину b и ниже точки В на величину c.

На рисунке 28б и 28в изображены, соответственно, горизонтально конкурирующие точки C=D и фронтально конкурирующие точки E=F.

Как видно, точка C выше точки D на величину d, а точка E ближе точки F на величину e.

1.8.3. Взаимное расположение точек и прямой

Точка может либо лежать на прямой, либо быть вне ее. Если точка находится на прямой, то в соответствии со свойством принадлежности (см. 3.3) ее проекции должны лежать на одноименных проекциях прямой.

Если же точка находится вне прямой, то хотя бы одна из проекций точки не будет лежать на одноименной проекции прямой (рисунок 29, точки В, С, D).

Н а рисунке 29 видно, что точка В находится над прямой l, т.к. она расположена выше, чем горизонтально конкурирующая с ней и лежащая на прямой точка помеченная крестиком. Здесь же видно, что точка С расположена за прямой l, поскольку она находится дальше, чем лежащая на прямой и фронтально конкурирующая с ней точка отмеченная крестиком. О точке D можно сказать, что она находится ближе и ниже прямой l, т.к. она ближе и ниже точки лежащей на прямой (отмечена крестиком).

Для определения положения точки относительно профильной прямой рекомендуется построить профильную проекцию оригиналов.

Таким образом:

определение взаимного положения точки и прямой сводится к определению взаимного положения двух точек.

1.8.4. Взаимопринадлежность точки и прямой. Деление отрезка в заданном отношении

Из свойства принадлежности вытекает следующее правило:

чтобы построить на данной непрофильной прямой l некоторую точку М, достаточно задать ее проекции на одноименных проекциях данной прямой (рисунок 29).

Так как отношение отрезков некоторой прямой равно отношению проекций отрезков этой прямой (см. 1.1.3), то из этого следует:

для деления некоторого отрезка АВ точкой С в заданном отношении, достаточно разделить в этом отношении одну из проекций указанного отрезка, а затем спроецировать делящую точку на другую проекцию.

Н

Рисунок 30

а рисунке 30 отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2 : 3. Для этого первоначально в этом отношении была разделена горизонтальная проекция указанного отрезка. Делается это следующим образом: из любого конца отрезка (не имеет значения какого) в произвольном направлении проводится луч. На этом луче от того конца отрезка, из которого проведен луч, откладываем 5 (т.к. 2+3=5) одинаковых произвольной длины отрезков. Конец последнего отрезка соединяем со вторым концом горизонтальной проекции заданного отрезка АВ. На проведенном луче определяем точку, делящую его в отношении 2 : 3. Через полученную точку параллельно вышеописанной прямой, соединяющей конец последнего отрезка на луче и второй конец горизонтальной проекции отрезка АВ, проводим линию до пересечения ее с проекцией отрезка. В пересечении линии с проекцией отрезка получаем точку С. После этого находим вторую (фронтальную) проекцию точки С.

Для деления в заданном отношении отрезка профильной прямой удобно построить профильную проекцию отрезка и начать построение с нее.