9.1.2. Показатели искажения по аксонометрическим осям. Виды аксонометрии

При некотором произвольном положении натуральной системы координат относительно картинной плоскости П' координаты точки А на эту плоскость будут проецироваться с искажениями.

Отношения аксонометрических координат точки А' к соответствующим натуральным координатам точки А называются показателями или коэффициентами искажения по осям. Обозначив через u показатель искажения по оси х, v- показатель искажения по оси у, а через w- показатель искажения по оси z, можно записать:

u = х'А / xA; v = y'A / yA; w = z'A / zA. (1)

Величину показателей искажения можно определить и как отношение аксонометрического масштаба к натуральному:

u = e'X / eX ; v = e'Y / eY ; w = e'Z / eZ .

На практике построение аксонометрического чертежа производится не по аксонометрическим масштабам, а по известным показателям искажения u, v и w. Например, для построения аксонометрического чертежа точки А ее «относят» к натуральной системе координат и определяют ее натуральные координаты. Имея показатели искажения по осям, можно при помощи соотношений (1) найти ее аксонометрические координаты:

х' = ux ; y' = vy ; z' = wz.

Затем строим на чертеже аксонометрические оси координат, и по полученным аксонометрическим координатам определяем положение точки А' в аксонометрической системе координат O'x'y'z'.

В зависимости от направления проецирования аксонометрические проекции можно разделить на две группы:

• прямоугольные аксонометрические проекции, полученные при ортогональном проецировании на картинную плоскость (sП');

• косоугольные аксонометрические проекции, полученные при направлении проецирования под острым углом к картинной плоскости.

В зависимости от соотношения показателей искажения по осям различают три группы аксонометрических проекций:

• изометрия – если все три показателя искажений по осям равны между собой: u = v = w;

• диметрия – если два показателя искажения равны между собой и отличаются от третьего показателя: u = v ≠ w, или v = w ≠ u, или w = u ≠ v;

• триметрия – если все показатели искажения по осям различны: u ≠ v, v ≠ w, w ≠ u.

9.1.3. Основное предложение аксонометрии

Принимая различные положения натуральной системы координат относительно картинной плоскости П', и выбирая произвольные направления проецирования s, можно получить множество аксонометрических изображений одного и того же оригинала, которые будут отличаться направлениями аксонометрических осей и показателями искажения по этим осям.

Немецким ученым-геометром Польке в 1851 году была доказана теорема, которая утверждает, что три отрезка прямых произвольной длины (лежащие в одной плоскости и выходящие из одной точки под произвольными углами друг к другу) представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на прямоугольных координатных осях от начала координат О.

Основываясь на этом можно произвольно выбирать направление аксонометрических осей и показатели искажения по ним.

В 1863 году геометр Г.Шварц сформулировал более общую теорему (теорема Польке-Шварца), которая утверждает, что всякий «невырожденный» четырехугольник и его диагонали можно рассматривать как параллельную проекцию тетраэдра наперед заданной формы.

Эта теорема позволила установить зависимость между углом проецирования и величиной показателей искажения по аксонометрическим осям:

u² + v² + w² = 2 + ctg  ,

где  - угол наклона направления проецирования s к картинной плоскости П'.

Для прямоугольной аксонометрической проекции =90°, ctg =0, следовательно u² + v² + w² = 2.

Пользуясь этой формулой, можно определить показатели искажения по аксонометрическим осям для прямоугольных изометрической и диметрической проекций.

В изометрии u = v = w, поэтому

3u²=2; u=√ 2/3 ≈ 0,82.

В диметрии u = v ≠ w, причем принято, что w=0.5 u (т.е. размеры по оси у уменьшаются в два раза), поэтому

2u² + 0.25u = 2; u = √ 2.25 ≈ 0.47.

Таким образом действительные показатели искажения в прямоугольной изометрии по всем осям равны u=0,82.

В прямоугольной диметрии действительные показатели искажения по осям х и z равны u = w = 0.94, а по оси у v = 0.47.

Следовательно, если заданы система аксонометрических осей x', y' и z' и показатели искажения по ним u, v и w, то можно построить изображение любого оригинала по его ортогональным проекциям.

Рассмотрим пример построения произвольной аксонометрии.

Пример 1. Построить аксонометрическую проекцию отрезка АВ, заданного своим комплексным чертежом (рисунок 179а).

Чтобы «отнести» отрезок АВ к натуральной системе координат зададим на комплексном чертеже отрезка проекции координатных осей (рисунок 179б). Измеряя натуральным масштабом е=1мм координаты точек А и В получим, например, следующие натуральные координаты точек :

хА = 30; уА = 10; zА = 35; хБ = 15; уБ = 30; zБ = 12.

Построим аксонометрическую систему координат, для чего на основании теоремы Польке проводим три произвольные прямые x', y' и z', пересекающиеся в точке О' (рисунок 179в).

Выберем показатели искажения по осям. Пусть u=1; y=0.5; w=1.5. Нужно отметить, что произвольно можно задавать только отношение показателей искажения u:v:w. Если же заданы сами показатели искажения, значит сам аксонометрический чертеж будет подобно преобразован. При таком преобразовании чертежа его наглядность не пострадает, поскольку вид изображения не и зменится, изменятся только его размеры.

Теперь при помощи соотношения (1) определяем аксонометрические координаты точек А и В:

х'А=u·хА=1·30=30; у'А=v·уА=0.5·10=5; z'А=w·zА=1.5·35=52.5;

хБ=u·хБ=1·15=10; у'Б=v·у'Б=0.5·30=15; z'Б=w·zБ=1.5·12=18.

Откладывая последовательно вдоль аксонометрических осей аксонометрические координаты точки А, построим аксонометрию точки А. Аналогично построим аксонометрию точки В, после чего соединим точки А' и В' (рисунок 179в).

Полученный аксонометрический чертеж выполнен только с точностью до подобия, однако его легко реконструировать, даже не зная коэффициента подобия. Действительно, зная значения показателей искажения по осям, и измерив натуральным масштабом е=1мм аксонометрические координатные отрезки точек А и В, можно при помощи соотношений (1) определить натуральные координаты этих точек, и тем самым реконструировать отрезок АВ относительно натуральной системы координат.