1. Поверхности, образуемые вращением прямой линии

При вращении прямой линии могут быть образованы ниже перечисленные поверхности.

Цилиндр вращения образуется вращением прямой t вокруг параллельной ей оси i (рисунок 103).

Конус вращения образуется вращением прямой t вокруг пересекающейся с ней оси i (рисунок 104).

О днополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямой t вокруг скрещивающейся с ней оси i (рисунок 105). В этом случае все точки прямой опишут окружности различных радиусов, причем общий перпендикуляр ОА прямых t и i будет наименьшим из всех радиусов, поэтому точка А опишет окружность, являющуюся горлом гиперболоида.

Д ля построения главного меридиана гиперболоида нужно повернуть вокруг оси i ряд точек прямой t до совмещения их с фронтальной плоскостью, проходящей через ось i. При этом получим гиперболу, являющуюся фронтальным очерком однополостного гиперболоида.

Поскольку все три поверхности образованы движением прямой линии, их можно отнести и к классу линейчатых поверхностей. В то же время эти поверхности являются поверхностями второго порядка, так как максимальное число точек пересечения каждой из них с прямой линией равно двум.

Построение некоторой точки М на любой из рассмотренных поверхностей вращения можно выполнить при помощи параллели h или прямолинейной образующей t.

5.3.2. Поверхности, образуемые вращением окружности

Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра.

Т ор образуется вращением окружности вокруг оси i, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр (рисунок 106). Такой тор называют закрытым. Если же ось вращения i проходит вне окружности, тор называют открытым или кольцом (рисунок 107).

Сфера является поверхностью второго порядка, а тор – четвертого, что определяется максимальным числом точек пересечения этих поверхностей с прямой линией.

Построение произвольной точки М на поверхности сферы или тора производят с помощью параллелей h.

5.3.3. Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка

Э ллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг его оси i (рисунок 108).

Параболоид вращения образуется вращением параболы t вокруг ее оси i (рисунок 109). Эта поверхность используется в качестве отражающей поверхности в прожекторах для получения параллельного пучка световых лучей.

Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы t вокруг ее мнимой оси i (рисунок 110). Здесь же показан асимптотический конус вращения, образованный вращением асимптот гиперболы. Однополостный гиперболоид находится во внешней части этого конуса.

Р анее было показано, что однополостный гиперболоид вращения является и линейчатой поверхностью, т.е. может быть образован вращением прямой линии вокруг скрещивающейся с ней оси (см. рисунок 105).

Д вуполостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы t вокруг ее действительной оси i (рисунок 111). Двуполостный гиперболоид находится во внутренней части асимптотического конуса.

Все четыре рассмотренные выше поверхности являются и поверхностями второго порядка.

Построение некоторой точки М на каждой из этих поверхностей производится при помощи их параллелей h (см. рисунки 108-111).