7.4. Способ вспомогательных сфер

При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных сфер возможны два случая. В первом из них пользуются сферами, проведенными из одного, общего для всех сфер центра. Во втором – сферами, проведенными из разных центров. Исходя из этого, различают два варианта способа сфер: способ концентрических сфер и способ эксцентрических сфер.

Прежде чем подробнее рассмотреть оба способа, остановимся на пересечении соосных поверхностей вращения (поверхностей вращения с одной общей осью).

В идно, что такие поверхности (рисунок 153а) пересекаются друг с другом по окружностям. Число этих окружностей равно числу точек пересечения меридианов поверхностей. Так, если одна поверхность образуется вращением меридиана т, а другая – меридиана l, то общие точки меридианов А, В и С будут описывать окружности, общие для обеих поверхностей. Если при этом ось вращения поверхностей параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость окружности будут проецироваться в виде отрезков прямых линий.

Отдельно нужно сказать о таком случае пересечения соосных поверхностей, когда одна из них является сферой. Если центр сферы находится на оси какой-либо поверхности вращения, то сфера соосна с этой поверхностью и пересекает ее по окружностям (рисунок 153б).

Указанное свойство и положено в основу способа концентрических сфер.

7.4.1. Способ концентрических сфер

Еще раз повторим условия, при которых применяется этот способ построения линии пересечения поверхностей:

• поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную какой-либо плоскости проекций;

• каждая из поверхностей содержит семейство окружностей, по которым ее могут пересекать вспомогательные сферы, общие для обеих поверхностей;

• оси поверхностей вращения пересекаются в некоторой точке.

Покажем на примерах обоснованность этих условий.

Пример 1. Построить линию пересечения цилиндра и конуса вращения, оси которых пересекаются в некоторой точке О и параллельны фронтальной плоскости проекций (рисунок 154).

Е сли провести из точки О пересечения осей данных поверхностей, как из центра, сферу произвольного радиуса, но пересекающую каждую из поверхностей, то эта сфера будет соосна с данными поверхностями.

Вспомогательная сфера пересечется с каждой из данных поверхностей по окружностям. Эти окружности изобразятся на фронтальной проекции (виде спереди) отрезками прямых линий, так как оси поверхностей вращения параллельны плоскости Ф. На пересечении отрезков прямых, изображающих окружности и принадлежащих разным поверхностям, получим проекции точек, которые одновременно принадлежат двум поверхностям, т.е. являются точками линии их пересечения. Таков общий алгоритм решения задачи.

Однако вначале необходимо построить опорные точки линии пересечения. Принимая во внимание, что обе поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций, находим точки А, В, С и D пересечения их контурных образующих на виде спереди. Эти точки являются точками видимости линии пересечения поверхностей.

Теперь необходимо определить радиусы максимальной и минимальной сфер, пригодных для нахождения точек линии пересечения.

Радиус максимальной сферы Rmax равен расстоянию от фронтальной проекции центра сфер О до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих. В нашем примере это точка А.

Для определения радиуса минимальной сферы Rmin необходимо провести из точки О нормали к очерковым образующим обеих поверхностей. Больший из отрезков этих нормалей и принимается в качестве Rmin. В этом случае сфера минимального радиуса будет касаться одной из поверхностей и пересекать вторую. Если бы за минимальный радиус сфер был взят меньший отрезок, то одна из данных поверхностей с такой сферой не пересечется.

В нашем примере сферой минимального радиуса будет сфера, касающаяся цилиндрической поверхности. Она касается цилиндра по окружности 1-2, а поверхность конуса пересекает по двум окружностям 3-4 и 5-6. Точки E=F и G=H пересечения этих окружностей будут точками линии пересечения поверхностей.

Для построения других случайных точек линии пересечения, проводят несколько концентрических сфер, с центром в точке О. Радиус этих сфер должен изменяться в диапазоне от Rmin до Rmax. На рисунке 153 проведена только одна дополнительная сфера радиуса R. Она пересекает поверхность цилиндра по окружностям 7-8 и 9-10, а поверхность конуса по окружностям 11-12 и 13-14. На пересечении этих окружностей получаем точки K=L, M=N и P=Q линии пересечения.

Для построения горизонтальных проекций точек линии пересечения в данном примере удобно использовать окружности, принадлежащие конической поверхности, поскольку они не искажаются на горизонтальной проекции (виде сверху).

Е сли бы в нашем примере оси поверхностей были не параллельны какой-нибудь плоскости проекций, то преобразованием чертежа (например, построением дополнительного вида) можно привести их в положение, параллельное новой плоскости проекций.

Пример 2. Построить линию пересечения сферы с поверхностью вращения общего вида, ось которой находится в одной фронтальной плоскости с осью сферы (рисунок 155).

Из любой точки пространства (за исключением центра сферы С) можно провести концентрические сферы, пересекающие данную сферу по окружностям. Из любой точки оси i можно провести концентрические сферы, пересекающие данную поверхность вращения по окружностям. Поэтому геометрическим местом точек пространства, из которых можно провести концентрические сферы, пересекающие по окружностям обе указанные поверхности, будет ось i поверхности вращения.

Следовательно, если из любой точки О оси i поверхности вращения описать концентрические сферы, то они пересекут данные поверхности по окружностям. Так вспомогательная сфера некоторого радиуса R пересечет поверхность вращения по окружности 1-2, а данную сферу по окружности 3-4. На фронтальной проекции обе эти окружности изображаются отрезками прямых. Точки M и N пересечения указанных окружностей будут точками искомой линии пересечения. Проведя еще ряд вспомогательных сфер, получим дополнительные точки линии пересечения.

Для построения горизонтальных проекций точек линии пересечения удобно использовать окружности, принадлежащие поверхности вращения, которые не искажаются на виде сверху (горизонтальной проекции).

Таким образом, мы показали, что способ концентрических сфер можно применять для построения линии пересечения двух поверхностей, у которых имеется общая плоскость симметрии, и каждая из которых содержит семейство окружностей, по которым ее могут пересекать концентрические сферы, общие для обеих поверхностей.