Пересечение поверхности с прямой линией
6.3.1. Основной способ определения точек пересечения
Для нахождения точек пересечения прямой с какой-либо поверхностью необходимо провести через данную прямую вспомогательную плоскость, после чего найти линию пересечения этой вспомогательной плоскости с данной поверхностью. Точки пересечения полученной линии с данной прямой и будут искомыми точками пересечения прямой с поверхностью.
Обычно в качестве вспомогательной плоскости выбирают проецирующую плоскость, проходящую через данную прямую. Поскольку линия пересечения поверхности с проецирующей плоскостью строится проще, чем с плоскостью общего положения.
Однако в некоторых случаях выгоднее в качестве вспомогательной плоскости выбирать плоскость общего положения, если она будет пересекать заданную поверхность по графически простым линиям.
Учитывая, что линия пересечения поверхности с проецирующей плоскостью, проведенной через данную прямую и сама прямая являются конкурирующими линиями, можно трактовать способ нахождения точек пересечения прямой с поверхностью не только как способ секущей плоскости, но и как способ конкурирующих линий.
Тогда алгоритм решения подобных задач можно сформулировать так: для построения точек пересечения прямой линии с поверхностью нужно построить на поверхности вспомогательную линию, конкурирующую с данной прямой, и найти точки пересечения этой линии с прямой.
При построении вспомогательной линии следует для определения ее отдельных точек использовать графически простые линии поверхности (окружности или прямые).
Рассмотрим ряд примеров.
Пример 1. Построить точки пересечения поверхности вращения с прямой t (рисунок 135).
Построим на поверхности вспомогательную линию т, фронтально конкурирующую с данной прямой t. Точки 1 и 2 вспомогательной линии т находим на главном меридиане f поверхности. Остальные точки 3,4,5,6,7 и 8 находим на параллелях поверхности h1, h2 и h3. Отметим, что параллель h2 является экватором поверхности. Соединив полученные точки плавной линией, получим линию т. Искомые точки M и N пересечения прямой с поверхностью определяются как точки пересечения линий т и t.
Точка М будет видимой на обеих проекциях, как находящаяся выше экватора и ближе главного меридиана. Точка же N на обеих проекциях будет невидимой, так как находится ниже экватора и за главным меридианом.
П
ример
2. Построить точки пересечения
сферы с прямой t
(рисунок 136).
Можно решить эту задачу так же как предыдущую, проведя вспомогательную проецирующую секущую плоскость через одну из проекций прямой (например – горизонтальную). При этом на поверхности сферы появится линия т (окружность), конкурирующая с данной прямой t.
Однако, чтобы избежать построения эллипса (в который проецируется окружность на фронтальной проекции), преобразуем чертеж, превратив плоскость окружности в плоскость уровня. Тогда на дополнительном виде линия т изобразится окружностью. Построив на дополнительном виде и проекцию прямой t, находим точки М и N пересечения т и t, которые и являются точками пересечения прямой t с поверхностью сферы. В завершении задачи достроим основные проекции точек М и N и определим видимость линии t.
Как видим, решение задачи значительно упрощается, если хотя бы один элемент (прямая или поверхность) является элементом “частного” положения.
Поэтому, при построении точек пересечения прямой с поверхностью, когда прямая или поверхность являются проецирующими, следует использовать «вырождение» их соответствующих проекций в точку или линию.