7.2.2. Частные случаи пересечения

Если при построении линии пересечения двух поверхностей хотя бы одна из них является проецирующей, следует использовать «вырождение» проекции этой поверхности в линию.

Построение линии пересечения в этом случае значительно упрощается, поскольку линия пересечения поверхностей уже имеется на чертеже - она совпадает с «вырожденной» в линию поверхностью. Другая проекция линии пересечения легко определяется с помощью графически простых линий второй поверхности.

Пример 2. Построить линию пересечения двух цилиндров вращения со скрещивающимися осями, поверхность одного из которых является проецирующей (рисунок 148).

В данном случае одна из проекций линии пересечения (горизонтальная) уже имеется, она совпадает с дугой АВ окружности, в которую «вырождается» поверхность вертикально расположенного цилиндра.

Для построения фронтальной проекции (вида спереди) линии пересечения построим фронтальные проекции определяющих ее точек при помощи образующих второго цилиндра (прямых линий).

Опорные точки А и В (дальняя и ближняя) находятся на дальней и ближней образующих наклонного цилиндра, совпадающих на виде спереди (фронтальной проекции) с его осью.

Точки C и D (высшая и низшая) являются одновременно и точками видимости наклонного цилиндра на виде спереди (фронтальной проекции).

Точки E и F (самые левые) являются точками видимости для вертикального цилиндра на виде спереди (фронтальной проекции). Для нахождения их фронтальных проекций удобно построить дополнительный вид наклонного цилиндра на плоскость, перпендикулярную образующим цилиндра. Здесь цилиндр проецируется в окружность, и проекции точек легко определяются с помощью глубины (отмеченной одним штрихом), замеренной на виде сверху.

Построим несколько случайных точек линии пересечения, например точки M и N. Их так же удобно находить при помощи имеющегося дополнительного вида. Для определения положения их проекций используем замеренную на виде сверху глубину, отмеченную двумя штрихами.

Видимость линии пересечения определяется точками видимости C и D наклонного цилиндра, расположенного ближе, чем вертикальный.

На выносном элементе показана форма линии пересечения в зоне точек Е и С. В нижней части, в зоне точек D и F, линия пересечения выглядит аналогично.

Рассмотрим пример, когда на чертеже нет «вырожденных» видов поверхностей, но имеется возможность при помощи преобразования чертежа его получить.

Пример 3. Построить линию пересечения сферы и треугольной призмы (рисунок 149).

Грани призмы являются плоскостями, поэтому линия пересечения указанных поверхностей будет состоять из дуг окружностей, соединяющихся между собой в точках пересечения ребер призмы со сферой.

В этом случае (как и в других, при построении линии пересечения многогранной и кривой поверхностей) задача сводится к последовательному решению задачи о пересечении кривой поверхности с прямой и плоскостью (см. пункты 34-36), где пользуются вспомогательными проецирующими плоскостями, приводящими к построению конкурирующих линий.

Для упрощения построений преобразуем чертеж, построив дополнительный вид на плоскость, перпендикулярную боковым ребрам призмы. Дополнительная плоскость будет фронтально проецирующей, так как ребра призмы являются фронталями. На дополнительном виде боковая поверхность призмы «вырождается» в треугольник, что облегчает построение линии пересечения ее со сферой.

При помощи фронталей f1 и f2 сферы, конкурирующих с боковыми ребрами призмы, находим точки А,В и C,D пересечения ребер призмы со сферой (см. 6.2, пример 2, рисунок 136).

Затем строим линии пересечения сферы с каждой из боковых граней призмы (см. 6.1, пример 3, рисунок 129).

Чтобы не загромождать чертеж лишними построениями, подробно рассмотрим построение линии пересечения сферы только с одной гранью призмы, видимой на обеих основных проекциях.

Сначала находим точку V - центр окружности, являющейся искомой линией пересечения. Для этого на дополнительном виде из центра сферы О опустим перпендикуляр на линию GH. После нахождения дополнительной проекции точки V, легко находятся и ее основные (фронтальная и горизонтальная) проекции.

Отрезок GH дополнительного вида определяет величину диаметра искомой окружности. Эллипс, в который проецируется эта окружность на виде спереди (фронтальной проекции), определяется своими осями EF и GH. Ось EF при этом равна диаметру окружности (т.е. отрезку GH). С помощью дополнительной проекции находятся и точки видимости K и L для вида спереди.

Чтобы построить горизонтальную проекцию (вид сверху) указанной окружности, так же являющуюся эллипсом, необходимо построить горизонтальные проекции ее взаимно перпендикулярных диаметров EF и GH. Горизонтальные проекции этих диаметров будут сопряженными диаметрами эллипса, с помощью которых можно построить и сам эллипс.

В завершении нужно определить точки видимости M и N для горизонтальной проекции этой части линии пересечения. Они построены при помощи прямой 1-2, лежащей в рассматриваемой грани и конкурирующей с экватором сферы.

Пример 4. Рассмотрим технический пример построения линий перехода (пересечения) цилиндров вращения разных диаметров при пересекающихся осях (рисунок 150).

Опорные точки в этом случае определяются просто. Для построения же нескольких случайных точек линии перехода используем построение дополнительных видов для наклонного и горизонтально расположенного цилиндров. Положение дополнительных плоскостей выбираем перпендикулярное осям цилиндров, в этом случае поверхности цилиндров будут проецирующими по отношению к ним.