- •Основы начертательной геометрии
- •Принятые обозначения
- •Предисловие
- •Введение
- •Предмет начертательной геометрии
- •Хронология развития начертательной геометрии
- •Параллельное проецирование
- •Основные свойства параллельного проецирования
- •Прямоугольное проецирование
- •1.2. Комплексный чертеж точки
- •Пространственная двух проекционная модель
- •Комплексный чертеж
- •Отказ от фиксированных плоскостей проекций
- •Комплексный чертеж прямой
- •Задание прямой
- •Профильная прямая
- •1.4. Комплексный чертеж плоскости
- •Комплексный чертеж из трех ортогональных проекций
- •Третья (профильная) плоскость проекций
- •Трех видовой комплексный чертеж
- •Прямые и плоскости частного положения
- •Термины и определения
- •Проецирующие прямые
- •Проецирующие плоскости
- •Плоскости уровня
- •Прямые уровня
- •Прямые частного положения в плоскости
- •1.7. Условия видимости на комплексном чертеже
- •1.8. Основные позиционные задачи
- •1.8.1. Термины и определения
- •1.8.2. Взаимное расположение двух точек
- •1.8.3. Взаимное расположение точек и прямой
- •1.8.4. Взаимопринадлежность точки и прямой. Деление отрезка в заданном отношении
- •1.8.5. Взаимное расположение двух прямых
- •1.8.6. Взаимное расположение точки и плоскости. Взаимопринадлежность точки и плоскости
- •1.9. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •1.10. Взаимное расположение двух плоскостей
- •Глава 2 изображение многогранников и позиционные задачи на многогранники
- •2.1. Изображение многогранников
- •2.2. Пересечение многогранника с плоскостью
- •2.3. Пересечение многогранника с прямой
- •2.4. Взаимное пересечение многогранников
- •Глава 3 метрические задачи. Перпендикулярность прямых и плоскостей
- •3.1. Определение натуральной величины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций
- •3.2. Ортогональная проекция прямого угла
- •3.3. Прямые наибольшего уклона плоскости
- •3.4. Перпендикулярность прямой и плоскости
- •3.5. Взаимная перпендикулярность плоскостей
- •3.6. Взаимная перпендикулярность прямых общего положения
- •Глава 4 преобразование комплексного чертежа
- •4.1. О преобразовании комплексного чертежа
- •4.2. Основы способа дополнительных видов
- •4.3. Основные задачи, решаемые с помощью способа дополнительных видов
- •4.4. Способ вращения вокруг проецирующей прямой
- •4.4.1. Вращение точки вокруг проецирующей прямой
- •4.4.2. Вращение прямой линии вокруг проецирующей прямой
- •4.4.3. Вращение плоскости вокруг проецирующей прямой
- •4.4.4. О возможностях способов вращения и дополнительного проецирования
- •4.5. Способ вращения вокруг прямой уровня
- •4.5.1. Вращение точки
- •4.5.2. Вращение плоскости вокруг прямой уровня
- •4.5.3. Измерение углов
- •4.5.4. Построение в плоскости общего положения фигуры заданной формы и размеров
- •5.1.2. Ортогональная проекция окружности
- •5.1.3. Пространственные кривые
- •5.2. Образование, задание и изображение поверхностей
- •5.2.1. Образование поверхностей
- •5.2.2. Задание поверхности на комплексном чертеже
- •Классификация поверхностей
- •Поверхности вращения
- •Поверхности, образуемые вращением прямой линии
- •5.3.2. Поверхности, образуемые вращением окружности
- •5.3.3. Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка
- •5.4. Линейчатые поверхности
- •5.4.1. Линейчатые поверхности с одной направляющей
- •5.4.2. Линейчатые поверхности с двумя направляющими
- •5.4.3. Линейчатая поверхность с тремя прямолинейными направляющими
- •5.5. Поверхности второго порядка
- •5.6. Винтовые поверхности
- •Циклические и топографические поверхности
- •5.7.1. Циклические поверхности
- •5.7.2. Топографические поверхности
- •6.2. Примеры построения линии пересечения поверхности с плоскостью
- •6.2.1. Особые случаи пересечения поверхности с плоскостью
- •Пересечение поверхности с прямой линией
- •6.3.1. Основной способ определения точек пересечения
- •6.3.2. Частные случаи построения точек пересечения
- •6.3.3. Косоугольное проецирование при построении точек пересечения
- •Плоскости, касательные к поверхностям
- •Глава 7 взаимное пересечение поверхностей
- •7.1. Способы построения линии пересечения двух поверхностей
- •7.2. Способ вспомогательных проецирующих плоскостей
- •7.2.1. Общий случай применения способа
- •7.2.2. Частные случаи пересечения
- •7.3. Способ вспомогательных плоскостей общего положения
- •7.4. Способ вспомогательных сфер
- •7.4.1. Способ концентрических сфер
- •7.4.2. Способ эксцентрических сфер
- •7.5. Взаимное пересечение поверхностей второго порядка. Особые случаи пересечения
- •Глава 8 развертки поверхностей
- •8.1. Общие понятия о развертывании поверхностей
- •8.2. Способы построения разверток
- •8.2.1. Способ треугольников (триангуляции)
- •8.2.2. Способ «нормального» сечения
- •8.2.3. Построение условных разверток не развертывающихся поверхностей
- •9.1.2. Показатели искажения по аксонометрическим осям. Виды аксонометрии
- •9.1.3. Основное предложение аксонометрии
- •9.2. Ортогональная аксонометрическая проекция
- •9.2.1. Основные свойства ортогональной аксонометрии
- •9.2.2. Ортогональная аксонометрия окружности
- •9.3. Стандартные аксонометрические проекции
- •9.3.1. Ортогональная изометрия
- •9.3.2. Ортогональная диметрия
- •9.3.3. Косоугольная фронтальная диметрия
- •9.4. Построение стандартных аксонометрических проекций
- •10.1.2. Техническое обеспечение компьютерной графики
- •10.1.3. Программное обеспечение компьютерной графики
- •10.1.4. Компьютерная графика в тгту
- •Содержание
- •Глава 1 комплексный чертеж точки, прямой и плоскости. Основные позиционные задачи
- •Глава 5 кривые линии и поверхности
4.5. Способ вращения вокруг прямой уровня
4.5.1. Вращение точки
Рассмотрим вращение некоторой точки А вокруг горизонтали h. Вращаясь, точка А опишет при этом окружность в плоскости Д, перпендикулярной оси вращения h. В данном случае эта плоскость будет горизонтально проецирующей и, следовательно, проецируется на горизонтальную плоскость проекций Г в виде прямой линии, перпендикулярной к проекции горизонтали h (рисунок 87а). Для упрощения чертежа на этом рисунке плоскость Г зафиксирована на уровне горизонтали h.
К ак правило, этот способ используют для совмещения точки с плоскостью. Новое положение точки А построим, определив ее радиус вращения r. Действительно, при совмещении точки А с горизонтальной плоскостью Г, ее новое положение А1 будет находиться на расстоянии равном радиусу вращения r от проекции центра вращения О.
Натуральную величину радиуса вращения r можно определить способом прямоугольного треугольника. На рисунке 87а в прямоугольном треугольнике ОААг радиус вращения r является гипотенузой, а катетами – горизонтальная проекция радиуса вращения (ОАг) и превышение точки А над точкой О (горизонтальной плоскостью Г).
На рисунке 87б показан ход построений на комплексном чертеже. Через проекцию точки А перпендикулярно горизонтали h проводится прямая, в которую «вырождается» плоскость вращения Д. В пересечении Д и h находится проекция центра вращения О. При помощи прямоугольного треугольника ОАА* (катеты которого указаны выше) находим натуральную величину радиуса вращения r точки А. Отложив на прямой, в которую «выродилась» плоскость Д, от точки О натуру радиуса вращения r, получим новую, совмещенную с горизонтальной плоскостью Г, проекцию точки А.
На виде спереди (фронтальной проекции) новое положение проекции точки А находим из условия совмещения точки с горизонтальной плоскостью.
Аналогично производится вращение точки вокруг фронтали.
4.5.2. Вращение плоскости вокруг прямой уровня
К ак отмечалось выше, основной целью указанного вращения является совмещение с плоскостью уровня. В результате такого совмещения определяется натуральная форма и размеры любой фигуры. Можно так же, построив в данной плоскости фигуру необходимой формы и размеров, «вернуть» ее на основные виды (проекции).
Рассмотрим на примере вращение плоскости Б ( ΔАВС) вокруг прямой уровня (в нашем примере горизонтали h) до совмещения с горизонтальной плоскостью Г (рисунок 88).
Сначала проведем в данной плоскости горизонталь h, например через точку С и вспомогательную точку 1. При таком выборе оси вращения проекции треугольника «до» и «после» поворота не будут накладываться друг на друга. При вращении точки С и 1, как находящиеся на оси вращения, будут неподвижными.
Проведем плоскость Г через горизонталь h и определим совмещенную с ней проекцию точки А. Для этого через горизонтальную проекцию (вид сверху) точки А проведем прямую перпендикулярную горизонтали h. Эта прямая – «вырожденная» проекция плоскости вращения точки А. Отложим от центра вращения О натуральную величину радиуса вращения r, которую предварительно определим с помощью прямоугольного треугольника ОАА*.
Для нахождения «совмещенной» проекции точки В нет необходимости находить радиус ее вращения. Она определится в пересечении прямой А1-1 с прямой, в которую «вырождается» плоскость вращения точки В на виде сверху.
Полученный после совмещения с горизонтальной плоскостью треугольник А1В1С дает натуральную форму и размеры заданного треугольника АВС.
Таким образом, при вращении плоской фигуры вокруг ее прямой уровня для построения «совмещенной» проекции, необходимо определить радиус вращения только одной точки. «Совмещенные» проекции других точек можно построить, используя неподвижные точки прямых, на которых находятся эти точки.