3.5. Взаимная перпендикулярность плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если каждая из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Верно и обратное утверждение: две плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Отсюда следуют два способа построения взаимно перпендикулярных плоскостей Б и Д – плоскость Б проводится через перпендикуляр n к плоскости Д, или плоскость Б проводится перпендикулярно прямой n, лежащей в плоскости Д.

Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

Пример. Через прямую l провести плоскость Б, перпендикулярную к данной плоскости Д(ΔАВС) (рисунок 61).

В случаях, когда требуется «провести плоскость», удобно задавать эту плоскость пересекающимися прямыми. В качестве первой прямой выбираем прямую l. Выделив на прямой l произвольную точку 1, проведем через нее вторую прямую задающую плоскость. Чтобы новая плоскость была перпендикулярной к заданной плоскости Б, необходимо, чтобы этой второй прямой была нормаль n (перпендикуляр) к плоскости Б. Для построения нормали n к плоскости Б предварительно строим в ней произвольные горизонталь h и фронталь f, после чего через точку 1 проводим нормаль n к плоскости Б описанным выше способом (см. 3.4).

Пересекающиеся прямые l и n определяют плоскость Д, перпендикулярную к плоскости Б.

3.6. Взаимная перпендикулярность прямых общего положения

Поскольку прямой угол между прямыми общего положения искажается на всех проекциях, их перпендикулярность приходится сводить к перпендикулярности прямой и плоскости. При этом используется известное положение – две прямые перпендикулярны в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой.

Таким образом, построение взаимно перпендикулярных прямых общего положения сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

П ример 1. Из точки А опустить перпендикуляр на прямую общего положения m (рисунок 62).

А

Рисунок 62

лгоритм решения задачи следующий. Через точку А проведем вспомогательную плоскость Д, перпендикулярную прямой т (рисунок 62а), затем определим точку В пересечения прямой т с плоскостью Д, после чего соединим точки А и В. Отрезок АВ (принадлежащий плоскости Д) будет перпендикулярен прямой т.

Вспомогательную плоскость Д задаем двумя пересекающимися прямыми (горизонталью h и фронталью f) проведенными через точку А перпендикулярно прямой т (рисунок 62б). При этом необходимо учитывать, что перпендикулярность прямой т с горизонталью сохраняется на виде сверху (на горизонтальной проекции), а перпендикулярность с фронталью – на виде спереди (на фронтальной проекции).

Теперь при помощи вспомогательной прямой t, фронтально конкурирующей с заданной прямой т, находим точку пересечения прямой т с плоскостью Д(hх f) – точку В.

Соединив точки А и В, получим отрезок АВ перпендикулярный прямой т.

Пример 2. Определить, перпендикулярны ли прямые α и b? (рисунок 63).

Чтобы выяснить это, построим вспомогательную плоскость Е, перпендикулярную одной из заданных прямых и определим положение второй прямой относительно вспомогательной плоскости. Если вторая прямая будет принадлежать вспомогательной плоскости или будет ей параллельна, то данные прямые α и b взаимно перпендикулярны. При других ситуациях прямые не перпендикулярны.

В спомогательную плоскость Е зададим пересекающимися горизонталью h и фронталью f, проведенными через произвольную точку А перпендикулярно, например, прямой α. Перпендикулярность плоскости Е к прямой α будет обеспечена, если на виде сверху (на горизонтальной проекции) проекция горизонтали будет перпендикулярна проекции прямой, а на виде спереди (на фронтальной проекции) проекции прямой будет перпендикулярна проекция фронтали. В этом случае плоскость Е, заданная прямыми h и f, будет перпендикулярна прямой α.

Чтобы выяснить положение прямой b относительно плоскости Е, проведем в плоскости вспомогательную прямую t, фронтально конкурирующую с прямой b.