Глава 2 изображение многогранников и позиционные задачи на многогранники

-------------------------------------------------------------------------------------------------

2.1. Изображение многогранников

На комплексном чертеже многогранники изображаются проекциями своих вершин и ребер. На начальном этапе изучения дисциплины рекомендуется проекции вершин отмечать точками в виде кружков. Для облегчения чтения чертежа иногда полезно обозначать проекции вершин многогранника.

Если у многогранника некоторые ребра являются проецирующими или профильными прямыми, то при не обозначенных вершинах одному и тому же изображению многогранника может соответствовать несколько вариантов его конструкции.

Д ействительно, если задан чертеж куба, на котором нет обозначения вершин (рисунок 43а), то при реконструкции чертежа помимо куба (рисунок 43б) можно получить еще четыре различно расположенные в пространстве треугольные призмы (одна из них изображена на рисунке 43в). Кроме этого можно получить четверть кругового цилиндра (рисунок 43д), фигуру, дополняющую четверть кругового цилиндра до куба (рисунок 43г) и другие фигуры. Для устранения многозначности в этом случае удобно обозначить проекции вершин куба.

Таким образом, в этом случае обратимость чертежа достигается либо обозначением проекций вершин многогранника, либо построением дополнительной проекции (например, профильной).

2.2. Пересечение многогранника с плоскостью

Сечением многогранника плоскостью является многоугольник, вершинами которого будут точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а сторонами – отрезки прямых пересечения граней многогранника с той же плоскостью.

Поэтому построение сечения многогранника плоскостью сводится к многократному решению задачи на пересечение прямой с плоскостью (см. 1.9) или к многократному решению задачи на пересечение плоскостей (см. 1.10). Поскольку решение первой задачи проще, то вершины сечения многогранника обычно строят как точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью. После построения вершин сечения нужно соединить отрезками прямых каждые две вершины лежащие в одной грани многогранника. При этом на проекциях (видах) видимыми сторонами сечения будут те, которые лежат в видимых гранях и, наоборот, невидимыми будут стороны сечения, если они лежат в невидимых гранях.

Таким образом:

построение вершин сечения многогранника плоскостью сводится, в общем случае, к проведению на секущей плоскости вспомогательных прямых, конкурирующих с ребрами многогранника, и определению точек пересечения этих прямых с соответствующими ребрами.

При этом:

если секущая плоскость или грани многогранника являются проецирующими, то следует использовать «вырождение» их проекций в прямые.

Рассмотрим несколько примеров построения сечения многогранника плоскостью. Разберем сначала простейшие случаи, когда секущая плоскость или поверхность многогранника являются проецирующими элементами.

Пример 1. Построить проекции сечения пирамиды SABCDE фронтально проецирующей плоскостью Б (рисунок 44а).

Поскольку в данном случае фронтальная проекция сечения «вырождается» в отрезок прямой, совпадающий с фронтальной проекцией плоскости Б, то здесь можно отметить фронтальные проекции вершин искомого сечения A1, B1, C1, D1 и E1. На виде сверху (на горизонтальной проекции) вершины сечения находим на соответствующих проекциях ребер пирамиды. Соединив последовательно вершины сечения отрезками прямых, получим горизонтальную проекцию сечения.

Пример 2. Построить проекции сечения треугольной призмы АА1ВВ1СС1 плоскостью общего положения Б(αхb) (рисунок 44б).

П оскольку боковые ребра данной призмы являются горизонтально проецирующими прямыми, то горизонтальные проекции вершин искомого сечения D, E и F совпадают с горизонтальными проекциями самих ребер призмы. На виде спереди (на фронтальной проекции) вершины сечения легко определяются из условия их принадлежности секущей плоскости Б, для чего в плоскости проведены вспомогательные прямые 1-2 и Е-3.

Р ассмотрим более сложные случаи пересечения многогранника плоскостью, когда и многогранник и плоскость являются элементами общего положения.

Пример 3. Построить проекции сечения треугольной призмы АА1ВВ1СС1 плоскостью общего положения Д(αхb) (рисунок 45).

Чтобы найти вершины искомого сечения, строим точки пересечения боковых ребер призмы с данной плоскостью Д. Для этого на плоскости Д проводим вспомогательные прямые 1-2, 3-4 и 5-6, фронтально конкурирующие с ребрами АА1, ВВ1 и СС1. Затем определяем точки пересечения вспомогательных прямых с соответствующими ребрами призмы. На ребре АА1 получаем точку D, на ребре СС1 – точку Е, на продолжении ребра ВВ1 – точку 7. Если бы призма не была ограничена основаниями (была бы бесконечной), то в сечении был бы получен треугольник D-7-E. Если же учитывать основания призмы, то в сечении получим четырехугольник DEFG, у которого вершины F и G являются точками пересечения сторон ВС и АВ основания АВС призмы с данной плоскостью Д. Точки F и G определяются в пересечении сторон ВС и АВ основания призмы со сторонами сечения Е-7 и D-7.

Поскольку ребра призмы параллельны друг другу, то конкурирующие с ними прямые 1-2, 3-4 и 5-6 будут параллельны между собой. Поэтому, построив первую из них – прямую 1-2, можно каждую последующую вспомогательную прямую строить при помощи одной точки. Так прямую 3-4 можно построить при помощи точки 3, а прямую 5-6 – при помощи точки 5, проведя их параллельно прямой 1-2.

Пример 4. Построить проекции сечения четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью общего положения Б(α//b) (рисунок 46).

Н

Рисунок 46

а плоскости Б проводим вспомогательные прямые 1-2, 3-4, 5-6 и 7-8 фронтально конкурирующие с ребрами SA, SB, SD и SC пирамиды. На виде сверху (на горизонтальной проекции) в пересечении вспомогательных прямых с соответствующими ребрами пирамиды находим вершины A1, B1, C1 и D1 искомого сечения. Остается последовательно соединить вершины сечения отрезками прямых и учесть видимость сторон сечения.

Для увеличения наглядности чертежа секущая плоскость Б принята непрозрачной и ограниченной параллельными прямыми.

Поскольку боковые ребра пирамиды пересекаются в одной точке S, то конкурирующие с ними вспомогательные прямые 1-2,3-4,5-6 и 7-8 также будут пересекаться в одной точке фронтально конкурирующей с точкой S. Поэтому если первая из вспомогательных прямых – прямая 1-2 определена точками 1 и 2, то остальные можно определять точками 3 и 9, 5 и 9, 7 и 9, не строя точек 4, 6 и 8.